e2v2 （1） k2?mr(r/2)正电子、负电子的动能分别为 EK? 和 EK? ，有
EK??EK??12mv （2） 2正、负电子间相互作用的势能
e2EP??k （3）
r电子偶素的总能量
E?EK??EK??EP （4）
由（1）、（2）、（3）、（4）各式得
1e2E??k （5）
2r根据量子化条件
mrv?nh n＝1，2，3，…… （6） 2?（6）式表明，r 与量子数 n 有关。有（1）和（6）式得与量子数 n 对应的定态 r 为
n2h2rn? n＝1，2，3，…… （7）
2?2ke2m代入（5）式得与量子数 n 对应的定态的 E 值为
En???2k2e4mnh22 n＝1，2，3，…… （8）
n＝1 时，电子偶素的能量最小，对应于基态。基态的能量为
E1???2k2e4mh2 （9）
n＝2是第一激发态，与基态的能量差
3?2k2e4m?E? （10） 24h评分标准：（本题20分）
（2）式2分，（5）式4分，（7）式、（8）式各5分，（10）式4分。
六、参考解答：
P 被释放后，细绳的张力对 D 产生机械力矩，带动 D 和A1 作逆时针的加速转动，通过两个轮子之间无相对运动的接触，A1 带动 A2 作顺时针的加速转动。由于两个轮子的辐条切割磁场线，所以在 A1 产生由周边沿辐条指向轴的电动势，在 A2 产生由轴沿辐条指向周边的电动势，经电阻 R 构成闭合电路。A1 、A2 中各辐条上流有沿电动势方向的电流，在磁场中辐条受到安培力。不难看出，安培力产生的电磁力矩是阻力矩，使 A1 、A2 加速转动的势头减缓。A1 、A2 从起始的静止状态逐渐加速转动，电流随之
第23届全国中学生物理竞赛预赛试题 第11页
逐渐增大，电磁阻力矩亦逐渐增大，直至电磁阻力矩与机械力矩相等，D、A1 和 A2 停止作加速转动，均作匀角速转动，此时 P 匀速下落，设其速度为 v，则 A1 的角速度
?1?v （1） a0A1 带动 A2 转动，A2 的角速度
?2 与 A1 的角速度 ?1 之间的关系为
?1a1??2a2 （2）
A1 中每根辐条产生的感应电动势均为
E1?12Ba1?1 （3） 2轴与轮边之间的电动势就是 A1 中四条辐条电动势的并联，其数值见（3）式。
同理，A2 中，轴与轮边之间的电动势就是 A2 中四条辐条电动势的并联，其数值为
E2?12Ba2?2 （4） 2R1 （5） 4R2 （6） 4A1 中，每根辐条的电阻为 R1，轴与轮边之间的电阻是 A1 中四条辐条电阻的并联，其数值为
RA1?A2 中，每根辐条的电阻为 R2，轴与轮边之间的电阻是 A2 中四条辐条电阻的并联，其数值为
RA2?A1 轮、A2 轮和电阻 R 构成串联回路，其中的电流为
I?E1?E1R?RA1?RA1 （7）
以（1）至（6）式代入（7）式，得
?1???Ba1(a1?a1)v2a （8） I??0?RR????R??1???2??4??4?当 P 匀速下降时，对整个系统来说，重力的功率等于所有电阻的焦耳热功率之和，即
RR??mgv?I2?R?1?2? （9）
44??以（8）式代入（9）式得
2mg(4R?R1?R2)a0 （10） v?222Ba1(a1?a1)评分标准：（本题25分）
（1）、（2）式各2分，（3）、（4）式各3分，（5）、（6）、（7）式各2分，（9）式6分，（10）式3分。
七、参考答案：
第23届全国中学生物理竞赛预赛试题 第12页
1. 如图1所示，设筒内磁场的方向垂直纸面指向纸外，带电粒子 P 带正电，其速率为 v 。P 从小孔射入圆筒中，因受到磁场的作用力而偏离入射方向，若与筒壁只发生一次碰撞，是不可能从小孔射出圆筒的。但与筒壁碰撞两次，它就有可能从小孔射出。造此情形中，P 在筒内的路径由三段等长、等半径的圆弧 HM、MN、和 NH 组成。现考察其中一段圆弧 MN，如图2所示。由于 P 沿筒的半径方向入射，OM 和 ON 均与轨道相切，两者的夹角
??? （1）
设圆弧的圆半径为 r ，则有
图1
23v2qvB?m （2）
r圆弧对轨道圆心 O? 所张的圆心角
??由几何关系得
?3 （3）
r?Rcot?2 （4）
解（2）、（3）、（4）式得
v?3qBR （5） m图2
2. P 由小孔射入到第一次与筒壁碰撞所通过的路径为
s??r （6）
经历时间为
t1?s （7） vP 从射入小孔到射出小孔经历的时间为
t?3t1 （8）
由以上有关各式得
t??mqB （9）
评分标准：（本题25分） 1. 17分。（1）、（2）、（3）、（4）式各3分，（5）式5分。 2. 8分。（6）、（7）、（8）、（9）式各2分。
八、参考解答：
小球获得沿竖直向下的初速度 v0 后，由于细绳处于松弛状态，故从 C 点开始，小球沿竖直方向作初速度为 v0、加速度为 g 的匀加速直线运动。当小球运动到图1中的 M 点时，绳刚被拉直，匀加速直线运动终止，此时绳与竖直方向的夹角为 ?＝30? 。在这过程中，小球下落的距离
第23届全国中学生物理竞赛预赛试题 第13页
s?l?2lcos??l(1?3) （1） 细绳刚拉直时小球的速度 v1 满足下式：
22v1?v0?2gs （2）
在细绳拉紧的瞬间，由于绳的伸长量可以不计，而且绳是非弹性的，故小球沿细绳方向的分速度 v1cos? 变为零，而与绳垂直的分速度保持不变，以后小球将从 M 点开始以初速度
??v1sin??v11v1 （3） 2图1
在竖直平面内作圆周运动，圆周的半径为 2l，圆心位于 A 点，如图1所示。由（1）、（2）、（3）式得
2v?1?121v0?gl(1?3)42
（4）
当小球沿圆周运动到图中的 N 点时，其速度为 v，细绳与水平方向的夹角为 ? ，由能量关系有
112mv?1?mv2?mg(3l?2lsin?) （5） 22用 FT 表示绳对小球的拉力，有
v2FT?mgsin??m （6）
2l21. v0?2(62?33?1)gl
设在 ???1 时（见图2），绳开始松弛，FT＝0，小球的速度 v?u1。以此代入（5）、（6）两式得
2 v?1?u12?2g(3l?2lsin?1) （7）
2u1gsin?1? （8）
2l由（4）、（7）、（8）式和题设 v0 的数值可求得
?1?45? （9）
u1?2gl （10）
即在 ?1＝45? 时，绳开始松弛。以 N1 表示此时小球在圆周上的位置，此后，小球将脱离圆轨道从 N1 处以大小为 u1，方向与水平方向成 45? 角的初速度作斜抛运动。
以 N1点为坐标原点，建立直角坐标系 N1xy，x轴水平向右，y 轴竖直向上。若以小球从 N1 处抛出的时刻作为计时起点，小球在时刻 t 的坐标分别为
x?u1cos45?t?
2u1t2
图2
第23届全国中学生物理竞赛预赛试题 第14页
（11）
121y?u1sin45?t?gt2?u1t?gt2 （12）
222由（11）、（12）式，注意到（10）式，可得小球的轨道方程：
x2x2 （13） y?x?g2?x?u12lAD 面的横坐标为
x?2lcos45??2l （14）
由（13）、（14）式可得小球通过 AD 所在竖直平面的纵坐标
y＝0 （15）
由此可见小球将在 D 点上方越过，然后打到 DC 边上，DC 边的纵坐标为
y??(2lsin45??l)??(2?1)l （16）
把（16）式代入（13）式，解得小球与 DC 边撞击点的横坐标
x＝1.75 l （17）
撞击点与 D 点的距离为
?l?x?2lcos45??0.35l （18）
22. v0?2(33?11)gl
设在 ???2 时，绳松弛，FT＝0，小球的速度 v?u2，以此代替（5）、（6）式中的 ?1、u1，得
22v?1?u2?2g(3l?2lsin?2) （19）
2u2mgsin?2?m （20）
2l2以 v0、（20）式联立，可解得 ?2(33?11)gl 代入（4）式，与（19）
?2?90? （21）
u2?2gl （22）
(22)式表示小球到达圆周的最高点处时，绳中张力为0，随后绳子被拉紧，球速增大，绳中的拉力不断增
加，拉力和重力沿绳子的分力之和等于小球沿圆周运动所需的向心力，小球将绕以 D 点为圆心，l 为半径的圆周打到梁上的 C 点。 评分标准：（本题25分）
（3）式2分，（5）、（6）式各1分，（9）、（10）式各3分，得出小球不可能打在 AD 边上，给3分，得出小球能打在 DC 边上，給2分，正确求出小球打在 DC 边上的位置，給2分。求出（21）、（22）式各占3分，得出小球能打在 C 点，再給2分。
如果学生直接从抛物线方程和 y??(2lsin45??l)??(2?1)l 求出 x＝1.75 l，同样给分。不必证明不能撞击在 AD 边上。
第23届全国中学生物理竞赛预赛试题 第15页
第23届全国中学生物理竞赛预赛试卷及答案
