平的，截面的边长都是 l 。一根长为 2l 的柔软的轻细绳，一端固定在 A 点，另一端系一质量为 m 的小球，初始时，手持小球，将绳拉直，绕过 B 点使小球处于 C 点。现给小球一竖直向下的初速度 v0，使
2小球与 CB 边无接触地向下运动，当v0分别取下列两值时，小球将打到梁上的何处？
21. v02?2(62?33?1)gl 2. v0?2(33?11)gl
设绳的伸长量可不计而且是非弹性的。 九、（25分）从赤道上的 C 点发射洲际导弹，使之精确地击中北极点 N，要求发射所用的能量最少。假定地球是一质量均匀分布的半径为 R 的球体，R＝6400 km。已知质量为 m 的物体在地球引力作用下作椭圆运动时，其能量 E 与椭圆半长轴 a 的关系为
E??GMm 2a式中 M 为地球质量，G 为引力常量。
1. 假定地球没有自转，求最小发射速度的大小和方向（用速度方向与地心 O 到发射点 C 的连线之间的夹角表示）。 2. 若考虑地球的自转，则最小发射速度的大小为多少？ 3. 试导出 E??G
Mm 。 2a第23届全国中学生物理竞赛预赛题参考解答及评分标准
第23届全国中学生物理竞赛预赛试题 第6页
一、参考解答：
1. 线剪断前，整个系统处于平衡状态。此时弹簧 S1 的弹力
F1?(mA?mB?mC)g （1） 弹簧 S2 的弹力
F2?mCg （2）
在线刚被剪断的时刻，各球尚未发生位移，弹簧的长度尚无变化，故 F1、F2 的大小尚未变化，但线的拉力消失。设此时球 A、B、C 的加速度的大小分别为 aA、aB、aC ，则有
F ?m1?mAgAaA （3） F2?mBg?mBaB （4） F2?mCg?mCaC （5） 解以上有关各式得 aA?mB?mCg 方向竖直向上 （6） mAmB?mCg 方向竖直向下 （7） mB aB? aC?0 （8）
2. 开始时，磁铁静止不动，表明每一条磁铁受到另一条磁铁的磁力与它受到板的静摩擦力平衡。
（ⅰ）从板突然竖直向下平移到停下，板和磁铁的运动经历了两个阶段。起初，板向下加速移动，板与磁铁有脱离接触的趋势，磁铁对板的正压力减小，并跟随板一起作加速度方向向下、速度向下的运动。在这过程中，由于磁铁对板的正压力减小，最大静摩擦力亦减小。向下的加速度愈大，磁铁的正压力愈小，最大静摩擦力也愈小。当板的加速度大到某一数值时，最大静摩擦力减小到小于磁力，于是磁铁沿着平板相向运动并吸在一起。接着，磁铁和板一起作加速度方向向上、速度向下的运动，直到停在 A?B? 处。在这过程中，磁铁对板的正压力增大，最大静摩擦力亦增大，因两磁铁已碰在一起，磁力、接触处出现的弹力和可能存在的静摩擦力总是平衡的，两条磁铁吸在一起的状态不再改变。
（ⅱ）从板突然竖直向上平移到停下，板和磁铁的运动也经历两个阶段。起初，板和磁铁一起作加速度方向向上、速度向上的运动，在这过程中，正压力增大，最大静摩擦力亦增大，作用于每个磁铁的磁力与静摩擦力始终保持平衡，磁铁在水平方向不发生运动。接着，磁铁和板一起作加速度方向向下、速度向上的运动，直到停在A??B??处。在这过程中，磁铁对板的正压力减小，最大静摩擦力亦减小，向下的加速度愈大，磁铁的正压力愈小，最大静摩擦力也愈小。当板的加速度大到某一数值时，最大静摩擦力减小到小于磁力，于是磁铁沿着平板相向运动并吸在一起。
评分标准：（本题20分） 1. 10分。（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）、（8）式各1分，aA、aB 的方向各1分。 2. 10分。（ⅰ）5分，（ⅱ）5分（必须正确说出两条形磁铁能吸引在一起的理由，才给这5分，否则不给分）。
二、参考答案 1.
第23届全国中学生物理竞赛预赛试题 第7页
（ⅰ）
（ⅱ）
图1
(ⅲ)
图2
1 32. f1，f4 。 评分标准：（本题20分） 1. 12分。（ⅰ）4分，（ⅱ）4分，（ⅲ）4分。
2. 8分。两个空格都填对，才给这8分，否则0分。
三、参考解答：
1.
（ⅰ）通过对点电荷场强方向的分析，场强为零的 P 点只可能位于两点电荷之间。设 P 点的坐标为 x0，则有 k已知
q2?2q1 （2） 由（1）、（2）两式解得
x0?(2?1)l （3）
（ⅱ）先考察点电荷 q0 被限制在沿 x 轴运动的情况。q1、q2 两点电荷在 P 点处产生的场强的大小分别为
E10?kq1q2 （1） ?k2x0(l?x0)2q1q2 E?k2022x0(l?x0)且有 E10＝E20
二者方向相反。点电荷 q0 在 P 点受到的合力为零，故 P 点是 q0 的平衡位置。在 x 轴上 P 点右侧
x?x0??x 处，q1、q2 产生的场强的大小分别为
??kE1q1?E10 方向沿 x 轴正方向
(x0??x)2q2?E20 方向沿 x 轴负方向
(l?x0??x)2第23届全国中学生物理竞赛预赛试题 第8页
??kE2
??E1?，x?x0??x 处合场强沿 x 轴的负方向，即指向 P 点。在x 轴上 P 点左侧x?x0??x 由于 E2处 q1、q2 的场强的大小分别为
???k E1q1?E10 方向沿 x 轴正方向
(x0??x)2q2?E20 方向沿 x 轴负方向 2(l?x0??x)???k E2???E1??，x?x0??x 处合场强的方向沿 x 轴的正方向，即指向 P 点。 由于 E2由以上的讨论可知，在 x 轴上，在 P 点的两侧，点电荷 q1 和q2 产生的电场的合场强的方向都指
向 P 点，带正电的点电荷在 P 点附近受到的电场力都指向 P 点，所以当 q0＞0 时，P 点是 q0 的稳定平衡位置。带负电的点电荷在 P 点附近受到的电场力都背离 P 点，所以当 q0＜0 时，P 点是 q0 的不稳定平衡位置。
再考虑 q0 被限制在沿垂直于 x 轴的方向运动的情况。沿垂直于 x 轴的方向，在 P 点两侧附近，点电荷q1 和q2 产生的电场的合场强沿垂直 x 轴分量的方向都背离 P 点，因而带正电的点电荷在 P 点附近受到沿垂直 x 轴的的分量的电场力都背离 P 点，所以，当q0＞0 时，P 点是 q0 的不稳定平衡位置。带负电的点电荷在 P 点附近受到的电场力都指向 P 点，所以当q0＜0 时，P 点是 q0 的稳定平衡位置。
2.
评分标准：（本题20分） 1. 12分 （ⅰ）2分
（ⅱ）当 q0 被限制在沿 x 轴方向运动时，正确论证q0＞0，P 点是q0 的稳定平衡位置，占3分；正确论证q0＜0，P 点是 q0 的不稳定平衡位置，占3分（未列公式，定性分析正确的同样给分）。 当q0 被限制在垂直于 x 轴的方向运动时，正确论证q0＞0 ，P 点是 q0 的不稳定平衡位置，占2分；正确论证q0＜0 ，P 点是 q0 的稳定平衡位置，占2分。
2. 8分。纵坐标标的数值或图线有错的都给0分。纵坐标标的数值、图线与参考解答不同，正确的同样给分。
四、参考解答
开始时竖直细管内空气柱长度为 L，压强为 H（以 cmHg 为单位），注入少量水银后，气柱将因水银
第23届全国中学生物理竞赛预赛试题 第9页
柱压力而缩短。当管中水银柱长度为 x 时，管内空气压强 p＝（H＋x），根据波意耳定律，此时空气柱长度
L??HL （1） H?xLx （2） H?x空气柱上表面与管口的距离
d?L?L??d?1 H?x开始时 x 很小，由于 L＞H，故
即水银柱上表面低于管口，可继续注入水银，直至 d＝x（即水银柱上表面与管口相平）时为止。何时水银柱表明与管口相平，可分下面两种情况讨论。
1. 水银柱表明与管口相平时，水银柱未进入水平管 此时水银柱的长度 x?l，由波意耳定律有
(H?x)(L?x)?HL （3）
由（3）式可得
x?L?H （4）
由此可知，当 l?L?H时，注入的水银柱的长度 x 的最大值
xmax?L?H （5）
2. 水银柱表面与管口相平时，一部分水银进入水平管 此时注入水银柱的长度 x＞l ，由波意耳定律有
(H?l)(L?x)?HL （6）
Ll （7） H?lLll?x? （8）
H?lx?由（8）式得
l?L?H，或 L?H?l （9）
Lx?L?H?L?H （10）
H?l即当 l?L?H 时，注入水银柱的最大长度 x?xmax 。
由上讨论表明，当l?L?H 时，可注入的水银量最大，这时水银柱的长度为 xmax，即（5）式。 评分标准：（本题20分）
正确论证 l?L?H 时可注入的水银量最大，占13分。求出最大水银量占7分。若论证的方法与参考解答不同，只要正确，同样给分。
五、参考解答：
正、负电子绕它们连线的中点作半径为 力是电子作圆周运动所需的向心力，即
r 的圆周运动，电子的电荷量为 e ，正、负电子间的库仑2
第23届全国中学生物理竞赛预赛试题 第10页
第23届全国中学生物理竞赛预赛试卷及答案
