欧阳体创编 2021.02.03 欧阳美创编 2021.02.03
第一章，
0命题逻辑
时间：2021.02.03 创作：欧阳体 素数 = 质数，合数有因子
和 或 假必真 同为真
(p→q)∧(q←→r)，(p∧q)∧┐r，p∧(q∧┐r)等都是合式公式，而pq→r，（p→(r→q)等不是合式公式。 若公式A是单个的命题变项，则称A为0层合式 (┐p∧q)→r，(┐(p→┐q))∧((r∨s)┐p)分别为3层和4层公式 【例】求下列公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。 (┐p∧q)→┐r 公式(1)的成假赋值为011，其余7个赋值都是成真赋值 第二章，
命题逻辑等值演算
（1）双重否定律 ??A?A
（2）等幂律 A∧A?A ； A∨A?A （3）交换律 A∧B?B∧A ； A∨B?B∨A
（4）结合律 （A∧B）∧C?A∧（B∧C） ； （A∨B）∨C?A∨（B∨C）
（5）分配律 （A∧B）∨C?（A∨C）∧（B∨C） ； （A∨B）∧C?（A∧C）∨（B∧C）
（6）德·摩根律 ?（A∨B）??A∧?B ； ?（A∧B）??A∨?B
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（7）吸收律 A∨（A∧B）?A；A∧（A∨B）?A （8）零一律 A∨1?1 ； A∧0?0 （9）同一律 A∨0?A ； A∧1?A （10）排中律 A∨?A?1 （11）矛盾律 A∧?A?0
（12）蕴涵等值式 A→B??A∨B （13）假言易位 A→B??B→?A
（14）等价等值式 A?B?（A→B）∧（B→A） （15）等价否定等值式 A?B??A??B??B??A （16）归缪式 （A→B）∧（A→?B）??A
Ai(i=1,2,…,s)为简单合取式，则A=A1∨A2∨…∨As为析取范式(p∧┐q)∨(┐q∧┐r)∨p
A=A1∧A2∧…∧As为合取范式(p∨q∨r)∧(┐p∨┐q)∧r 一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式 一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式 主范式【∧小真，∨大假】 ∧ 成真 小写 【例】 (p→q)→(┐q→┐p)
= ┐(┐p∨q)∨(q∨┐p) (消去→)
= (p∧┐q)∨┐p∨q (┐内移) (已为析取范式) = (p∧┐q)∨(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(┐p∧q)∨(p∧q) （*） = m2∨m0∨m1∨m1∨m3
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= m0∨m1∨m2∨m3 (幂等律、排序) (*)由┐p及q派生的极小项的过程如下： ┐p = ┐p∧(┐q∨q)
= (┐p∧┐q)∨(┐p∧q) q = (┐p∨p)∧q = (┐p∧q)∨(p∧q)
熟练之后，以上过程可不写在演算过程中。
该公式中含n=2个命题变项，它的主析取范式中含了22=4个极小项，故它为重言式，
00，01，10，11全为成真赋值。 【例】(p→q)∧┐p
= (┐p∨q)∧┐p (消去→)
= ┐p∨(┐p∧q) (分配律、幂等律) 已为析取范式 = (┐p∧┐q)∨(┐p∧q) = m0∨m1
【例】(p∧┐q)∨(┐p∧q)
= (p∨┐p)∧(p∨q)∧(┐q∨┐p)∧(┐q∨q) = (p∨q)∧┐(p∧q) 重言蕴涵式
【例】用附加前提证明法证明下面推理。 前提：P→（Q→R），?S∨P，Q结论：S→R 证明：（1）?S∨P 前提引入规则
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离散数学重点笔记之欧阳体创编
