常微分方程(第三版,王高雄)课后答案

dzz2?3xz3zz2???22dxxxx2 这是n=2时的伯努利方程。

1dz31??z2dxxzx2两边同除以z

dT1dz ??2dxzdx 令1?T

z

xdT?3T1??2dxxx

P（x）=?3 Q(x)=?1

x2由一阶线性方程的求解公式

?3dxdx?1?3?xxT?e(?2edx?c)

x =x?31(?x2?c) 2?1 =?1x2?cx?3

1z(?x?1?cx?3)?1 21ey(?x?1?cx?3)?1 21?x2ey?cey?x3 212x?x3e?y?c 215

dy1?dxxy?x3y3

dx?yx?y3x3 dy这是n=3时的伯努利方程。 两边

x3

1dxy?2?y3 3xdyx - 16 -

令x

?2?z

dzdx ??2x?3dydydz2y??2?2y3=?2yz?2y3 dyx P(y)=-2y Q(y)=?2y

3 由一阶线性方程的求解公式

z?e??2ydy(??2y3e???2ydydy?c)

=e?y2(??2y3ey2dy?c)

=?y2?1?ce?y2

x2(?y2?1?ce?y2)?1

x2ey2(?y2?1?ce?y2)?ey2

ey2(1?x2?x2y2)?cx2

y=ex+?x0y(t)dt

dydx?ex?y(x) dydx?y?ex P(x)=1 Q(x)=ex y?e?1dx(?exe??1dxdx?c)

=ex(?exe?xdx?c)

=ex(x?c)

ex(x?c)?ex??x0ex(x?c)dx

- 17 -

16 由一阶线性方程的求解公式

c=1 y=e(x?c)

x17 设函数?(t)于?∞

'式?(t+s)=?(t)?(s) 试求此函数。

令t=s=0 得?(0+0)=?(0)?(0) 即?(0)=?(0) 故

2?(0)?0或?(0)?1

（1） 当?(0)?0时 ?(t)??(t?0)??( 即?(t)?0 t?)(0)?t?(?∞,?∞)

(2)

?'(t)?lim?t?0

?(t??t)??(t)?t 当

?t?(0)?1时

=lim?(t)?(?t)??(t)

?t?0 =lim?(t)(?(?t)?1)=lim?(?t?0)??(0)?(t)

?t?0?t?t?0?t =?(0)?(t)

'于是

d???'(0)?(t) dt 变量分离得

- 18 -

d????'(0)dt 积分

??ce?(0)t

'由于?(0)?1，即t=0时??1 1=ce故?(t)?e?'(0)t0?c=1

20.试证：

（1）一阶非齐线性方程（2 .28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；

（2）若y?y(x)是（2.3）的非零解，而y?y(x)是（2.28）的解，则方程（2.28）的通解可表为y?cy(x)?y(x)，其中

c为任意常数.

??（3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解. 证明：dy?P(x)y?Q(x) （2.28）

dxdy?P(x)ydx （2.3）

（1） 设y，y是（2.28）的任意两个解

12则

dy1?P(x)y1?Q(x) dx （1）

- 19 -

2）

dy2dx?P(x)y2?Q(x) （2）

（1）-（2）得 d?y1?y2?dx?P(x)(y1?y2)

即y?y1?y2是满足方程（2.3）

所以，命题成立。

由题意得：

dy(x)dx?P(x)y （3）

d?y(x)?dx?P(x)y(x)?Q(x) （4）

1）先证y?cy?y?是（2.28）的一个解。 于是

c??3???4? 得

cdy?dx?dydx?cP(x)y?P(x)?y?Q(x) d(cy?y?)dx?P(x)(cy??y)?Q(x) 故y?cy?y?是（2.28）的一个解。

2）现证方程（4）的任一解都可写成cy?y?的形

- 20 -

（ 式