常微分方程
2.1
1.dy?2xy,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.
dx 解：对原式进行变量分离得
1dy?2xdx,两边同时积分得：lny?yc?1,故它的特解为y?ex。2x2?c,即y?cex把x?0,y?1代入得2
2.ydx?(x?1)dy?0,并求满足初始条件：x=0,y=1
2的特解.
解：对原式进行变量分离得：
?1111dx?2dy,当y?0时，两边同时积分得；lnx?1??c,即y?x?1yc?lnx?1y当y?0时显然也是原方程的解。当x?0,y?1时，代入式子得c?1,故特解是1y?。1?ln1?x
3
y dy?dxxy?x3y1?2 解：原式可化为：
- 1 -
1?ydy1?y1y1??显然?0,故分离变量得dy?dx323dxyyx?xx?x1?y1两边积分得ln1?222y212?lnx?ln1?x?lnc(c?0),即(1?2(1?x)?cxy）222y)(1?x)?cx
222故原方程的解为（1?4：(1?x)ydx?(1?y)xdy?0解：由y?0或x?0是方程的解，当xy?0时，变量分离两边积分lnx?x?lny?y?c,即lnxy?x?y?c,故原方程的解为lnxy?x?y?c;y?0;x?0. 1?x1?ydx?dy?0xy
- 2 -
5:(y?x)dy?(y?x)dx?0dyy?xydydu解：?,令?u,y?ux,?u?xdxy?xxdxdxduu?1u?11则u?x?,变量分离，得：?2du?dxdxu?1xu?1两边积分得：arctgu?12ln(1?u)??lnx?c。22dy2?y?x?ydxydydu解：令?u,y?ux,?u?x,则原方程化为：xdxdx6：xdu?dxx2(1?u)x2,分离变量得：11?u?2du?sgnx?1dxx两边积分得：arcsinu?sgnx?lnx?c?y代回原来变量，得arcsin?sgnx?lnx?cx另外，y?x也是方程的解。227：tgydx?ctgxdy?0解：变量分离，得：ctgydy?tgxdx两边积分得：lnsiny??lncosx?c.y2dy8:??edxy?3x解：变量分离，得ey13xdy??e?c23y9:x(lnx?lny)dy?ydx?0yy解：方程可变为：?ln?dy?dx?0xxy1lnu令u?,则有：dx??dlnuxx1?lnuy代回原变量得：cy?1?ln。xdyx?y10：?edx
e两边积分e?e解：变量分离yyxdy?edx?c x - 3 -
dyx?y?edx解：变量分离，edy?edx两边积分得：e?e?c2dy11.?(x?y)dxyxyxdydt??1dxdxdt1原方程可变为：?2?1dxt解：令x?y?t,则变量分离得：21?1tdt?dx,两边积分arctgt?x?c代回变量得：arctg(x?y)?x?c
12．dy?dx1(x?y)2
解
令x?y?t，则dydtdt1??1，原方程可变为??1dxdxdxt2t2变量分离2dt?dx，两边积分t?arctgt?x?c，代回变量t?1x?y?arctg(x?y)?x?c
13.dy2x?y?1?dxx?2y?111解：方程组2x?y?1?0,x?2y?1?0;的解为x??,y?3311dY2X?Y 令x?X?,y?Y?,则有?'33dXX?2YYdU2?2U?2U令?U，则方程可化为：X?XdX1?2U变量分离2 - 4 -
14,dyx?y?5?dxx?y?2dydt?1?,dxdxdtt原方程化为：1??,变量分离(t?7)dt?7dx
dxt?712两边积分t?7t??7x?c221代回变量(x?y?5)?7(x?y?5)??7x?c.2解：令x?y?5?t,则dy?(x?1)2?(4y?1)2?8xy?115．dx
dy解：方程化为?x2?2x?1?16y2?8y?1?8xy?1?(x?4y?1)2?2dxdydu1du9令1?x?4y?u，则关于x求导得1?4?，所以?u2?， dxdx4dx41228分离变量2du?dx，两边积分得arctg(?x?y)?6x?c，是3334u?9原方程的解。dyy6?2x216．?522dx2xy?xy
dy(y3)2?2x2dy33[(y3)2?2x2]解：?232??，，令y3?u，则原方程化为32dxy(2xy?xdx2xy?x3u2?62du3u2?6x2x??2udx2xu?x2?1x ，这是齐次方程，令
ududz3z2?6dzdzz2?z?6?z，则?z?x，所以?z?x，，x?，...........(1)xdxdx2z?1dxdx2z?1当z2?z?6?0，得z?3或z??2是（1）方程的解。即y3?3x或y3??2x是方程的解。2z?11 dz?dx，两边积分的（z?3)7(z?2)3?x5c,2xz?z?d即（y3?3x)7(y3?2x)3?x5c，又因为y3?3x或y3??2x包含在通解中当c?0时。故原方程当z2?z?6?0时，变量分离的解为(y3?3x)7(y3?2x)3?x15c17.
dy2x3?3xy?x?dx3x2y?2y3?y
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常微分方程(第三版,王高雄)课后答案
