v1.0 可编辑可修改 高中竞赛之重要不等式
1．柯西不等式（给了两列数，或一列数，有平方和和平方） 定理1 对任意实数组ai,bi(i?1,2,即
,n)恒有不等式“积和方不大于方和积”，
等式当且仅当 时成立。本不等式称为柯西不等式。
证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。 证明1
n
左=?ai2bi2?2?aibiajbj ∴右-左=
i?1i?j
当且仅当 时，等式成立。
柯西不等式的两个推论： ⅰ．设
同号（
），则
时取等号。
1第 1 页 共 18 页
当且仅当
v1.0 可编辑可修改 ⅱ．若 ，且 ，则
（分母作和）
由柯西不等式可以证下面的不等式。3次可以推广为4、5等n次。
(a13+a23+a33)(b13+b23+b33)(c13+c23+c33)?(a1b1c1+a2b2c2+a3b3c3)3
3333333333证明:对(a1+a2+a3)(b1+b2+b3)和(c1+c2+c3)(a1b1c1+a2b2c2+a3b3c3)
分别用柯西不等式,可得到两个不等式,将这两个不等式相乘,再用一次柯西不等式即可证明原不等式.
柯西不等式的推广：闵可夫斯基不等式 设
，
，…，
； ，
，…，
是两组正数，k?0且k?1 ，则
（ ）
a1a2??b1b2 （
an 时等号成立。 bn ）
当且仅当? 闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当时得平面上的三角形不等式：
2第 2 页 共 18 页
v1.0 可编辑可修改
右图给出了对上式的一个直观理解。
若记 ， ，则上式为
特例：
(a1?a2?2121?am)2?(b1?b2?222?bm)2?2
a?b?a2?b2?(a1?a2?2121?am?bm?am)2?(b1?b2?21222?bm)2?(c1?c2??am?bm?cm22?cm)2?2
a?b?c?a2?b2?c2?多个根式可转化为一个根式。 赫尔德不等式 已知
（
）是
个正实数， ，则
3第 3 页 共 18 页
v1.0 可编辑可修改 上式中若令????等式。
1 ，2 ， ，则此赫尔德不等式即为柯西不
2〔排序不等式，排序原理〕（给的是两列数且为对称的）
设a1?a2???an，b1?b2???bn，则有
?abi?1nin?1?i??aibti??aibi．
i?1i?1nn1,2,?,n?．当且即“反序和”?“乱序和”?“同序和”．其中?t1,t2,?,tn???仅当a1?a2???an或b1?b2???bn时等号成立． 〔切比雪夫不等式〕
实数ai，bi满足a1?a2???an，b1?b2???bn（i?1，2，…，n）．则
1n?1n??1n?1naibi???ai???bi???aibn?1?i． ?ni?1?ni?1??ni?1?ni?1当且仅当a1?a2???an或b1?b2???bn时等号成立． 下面给出一个
时的契比雪夫不等式的直观理解。
如图，矩形OPAQ中， ， ，
显然阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和，（这可沿图中线段MN向上翻折比较即知）。于是有
4第 4 页 共 18 页
v1.0 可编辑可修改 ，也即
3 琴生不等式 〔凸函数定义〕
1．设f?x?是定义在闭区间?a,b?上的函数，若对任意x，y??a,b?和任意
???0,1?，有f??x??1???y???f?x???1???f?y?
成立，则称f?x?是?a,b?上的凸函数（也称下凸函数或凹函数）．
2．设f?x?是定义在?a,b?上的函数，若对任意x，y??a,b?且x?y和任意???0,1?，有f??x??1???y???f?x???1???f?y? 成立，则称f?x?是?a,b?上的严格凸函数．
3．设f?x?是定义在?a,b?上的函数，若对任意x，y??a,b?和任意???0,1?，有f??x??1???y???f?x???1???f?y? 成立，则称f?x?是?a,b?上的上凸函数．
凸函数的定义表明了，上(下)凸函数的两个自变量的算术平均值处的函数值不小(大)于其函数值的算术平均值．从图象上看，表明联结上(下)凸函数图形上任何两点的弦的中点恒位于图形的对应点之下(上)．见图1．
5第 5 页 共 18 页
高中竞赛之重要不等式
