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一次函数与几何综合（讲义）
一、知识点睛
1. 一次函数表达式： y=kx+b（k，b 为常数， k≠ 0）
① k 是斜率，表示倾斜程度，可以用几何中的坡度（或坡比）来解释．坡面的竖直高度 与水平宽度的比叫坡度或坡比，如图所示， AM 即为竖直高度， BM 即为水平宽度，则
k =
AM
，② b 是截距，表示直线与 y 轴交点的纵坐标．
1，直线 l 2：y2 2
A
BM
1：y1 1
2，其中 k1 ，k2≠ 0．
2. 设直线 l
②若 k1·2
①若 k1 2，且 b1≠b2，则直线 l 1∥l 2；
=k x+b
，则直线
=k x+b
B
M
=k
1⊥ l2．
k =- 1 l
3. 一次函数与几何综合解题思路
从关键点出发，关键点是信息汇聚点，通常是函数图象与几何图形的交点．通过点的坐标和横平竖直的线段长的互相转化将函数特征与几何特征结合起来进行研究，最后利用函数特征或几何特征解决问题．
二、精讲精练
1. 如图，点 B，C 分别在直线 y=2x 和 y=kx 上，点 A，D 是 x 轴上的两点，已知四边形
ABCD 是正方形，则 k 的值为 ______．
y l 1 B
y
y= 2x B
y
B
E
l2
y=kx C
C
D
D
O A
O
A x
C
O
第 3 题图
D
第 1 题图
x
A x
第 2 题图
2. 如图，直线 l 1 交 x 轴、 y 轴于 A，B 两点， OA=m，OB=n，将△ AOB 绕点 O 逆时针旋转
90°得到△ COD．CD 所在直线 l 2 与直线 l1 交于点 E，则 l1
分别为 k1，k2，则 k1·2
．
l 2；若直线 l1，l2 的斜率
3. 如图，直线 y
4
3
k =_______
x 8 交 x 轴、y 轴于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 C，
交 AB 于点 D，则点 C 的坐标为 ____________．
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4. 如图，在平面直角坐标系中，函数 y=x 的图象 l 是第一、三象限的角平分线．
探索：若点 A 的坐标为 (3，1)，则它关于直线 l 的对称点 A'的坐标为 ____________；猜想：若坐标平面内任一点 P 的坐标为 (m，n)，则它关于直线 l 的对称点 P′的坐标为 ____________；
应用：已知两点 B(- 2，- 5)，C(- 1，- 3)，试在直线 l 上确定一点 Q，使点 Q 到 B，C 两 点的距离之和最小，则此时点
Q 的坐标为 ____________．
y
A'
l A
O x
5. 如图，已知直线 l： y
3
3
x 3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，将△ AOB 沿直线
l 折叠，点 O 落在点 C 处，则直线 CA 的表达式为 __________________．
y
C
l
B
y
F
A (O) E
y
D
Q
x
D
C
P
O
B
x
O
A x B
C
A
第 5 题图
第 6 题图
第 7 题图
6. 如图，四边形 ABCD 是一张矩形纸片， E 是 AB 上的一点，且 BE: EA=5: 3，EC=15 5 ，把
△ BCE 沿折痕 EC 向上翻折，点 B 恰好落在 AD 边上的点 F 处．若以点 A 为原点，以 直线 AD 为 x 轴，以直线 __________________．
7. 如图，矩形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上， AB 的中点与原点 O 重合， AB=2， AD=1，过定点
Q(0，2)和动点 P(a，0)的直线与矩形 ABCD 的边有公共点．
（1）a 的取值范围是 ________________；
（2）若设直线 PQ 为 y=kx+2（k≠0），则此时 k 的取值范围是 ________________．
BA 为 y 轴建立平面直角坐标系，则直线
FC 的表达式为
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8. 如图，已知正方形 ABCD 的顶点 A(1，1)，B(3，1)，直线 y=2x+b 交边 AB 于点 E，交边
CD 于点 F，则直线 y=2x+b 在 y 轴上的截距 b 的变化范围是 ____________．
y 4 3 2 1
y= 2x+b
D
F C
y
E
B
A
l2 E
l1 D
C
O 1
2 3 4
x
b
B (G)
AO F x
第 8 题图
9. 如图，已知直线 l 1： y
2 x 3
8
3
第 9 题图
与直线 l2：y=- 2x+16 相交于点 C，直线 l1， l2 分别交 x
， G 都在 x 轴上， 轴于 A， B 两点，矩形 DEFG 的顶点 D，E 分别在 l1，l2 上，顶点且F
点 G 与点 B 重合，那么 S 矩形 DEFG: S△ABC =_________．
10. 如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为 A(4，0)，B(0，
- 4)， P 为 y 轴上 B 点下方一点， PB=m（m>0），以点 P
y
A
O B P
M
为直角顶点， AP 为腰在第四象限内作等腰 Rt△ APM．（1）求直线 AB 的解析式； （2）用含 m 的代数式表示点 M 的坐标；
（3）若直线 MB 与 x 轴交于点 Q，求点 Q 的坐标．
Q x
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一次函数之存在性问题（讲义）
一、知识点睛
存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查运动的结果 .
一次函数背景下解决存在性问题的思考方向：
1. 把函数信息（坐标或表达式）转化为几何信息； 2. 分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形；
3. 结合图形（基本图形和特殊状态下的图形相结合）的几何特征建立等式来解决问题．
二、精讲精练
1. 如图，直线 y
3
3
x
3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A，点 B，已知点 P 是第一象限内的
点，由点 P，O，B 组成了一个含 60°角的直角三角形， 则点 P 的坐标为 _____________．
y
y
A
B
O
B
C
x
O
A x
2. 如图，直线 y=kx- 4 与 x 轴、 y 轴分别交于 B， C 两点，且 （1）求点 B 的坐标和 k 的值．
OC
4 .
OB 3
（2）若点 A 是第一象限内直线 y=kx- 4 上的一个动点，则当点 A 运动到什么位置时， △AOB
的面积是 6？
（3）在（2）成立的情况下， x 轴上是否存在一点 P，使△ POA 是等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 .
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3. 如图，在平面直角坐标系中，直角梯形 OABC 的边 OC，OA 分别与 x 轴、y 轴重合， AB
∥ OC，∠ AOC=90°，∠ BCO=45°， BC= 6 2 ，点 C 的坐标为 (- 9，0)．
（1）求点 B 的坐标．
（2）若直线 BD 交 y 轴于点 D，且 OD=3，求直线 BD 的表达式． （3）若点 P 是（2）中直线 BD 上的一个动点，是否存在点 三角形是等腰三角形？若存在，求出点
y
B
A D
B
P，使以 O，D，P 为顶点的
P 的坐标；若不存在，请说明理由．
y
A D
C O x C O x
4. 如图，直线 y=kx+3 与 x 轴、 y 轴分别交于 A，B 两点，
OB3
，点 C 是直线 y=kx+3 上
OA 4
与 A，B 不重合的动点．过点 C 的另一直线 CD 与 y 轴相交于点 D，是否存在点 C 使△ BCD 与△ AOB 全等？若存在，请求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由．
y
B O
A
x
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培优9一次函数综合类问题四大类.docx
