概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
泊松分布 设随机变量X的分布律为 P(X?k)??kk!e??，??0，k?0,1,2?， 则称随机变量X服从参数为?的泊松分布，记为X~?(?)或者P(?)。 泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。 超几何分布 kn?kk?0,1,2?,lCM?CN?M P(X?k)?,nl?min(M,n)CN随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。 几何分布 P(X?k)?qk?1p,k?1,2,3,?，其中p≥0，q=1-p。 随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。 设随机变量X的值只落在[a，b]内，其密度函数f(x)在[a，b]上为常数 均匀分布 1，即 b?a?1a≤x≤b ,?f(x)??b?a 其他， ??0,则称随机变量X在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。 分布函数为 0， x 概率论与数理统计 公式（全） 2011-1-1 指数分布 f(x)? ?e??x, x?0, 0, x?0, 其中??0，则称随机变量X服从参数为?的指数分布。 X的分布函数为 1?e??x, x?0, F(x)? 0, x<0。 记住积分公式： n?xx?edx?n! 0??正态分布 设随机变量X的密度函数为 2?????0为常数，?其中、则称随机变量X服从参数为?、2X~N(?,?)。 的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为f(x)?1e?(x??)22?2， ???x???， f(x)具有如下性质： 1° f(x)的图形是关于x??对称的； 2° 当x??时，f(?)?12??22(t??)X~N(?,?)X的分布函数为 若?x，则12?2F(x)?edt2?????。。 为最大值； 参数??0、??1时的正态分布称为标准正态分布，记为X~N(0,1)，其密度函数记为x2 ?12?(x)?e2?，???x???， 分布函数为 2????(x)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。 1。 2X??2如果X~N(?,?)，则~N(0,1)。 ??x????x???P(x1?X?x2)???2????1?。 ??????Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝1 ?(x)?1x?e?t22dt。 概率论与数理统计 公式（全） 2011-1-1 （6）分位数 （7）函数分布 下分位表：P(X???)＝?； 上分位表：P(X???)＝?。 离散型 已知X的分布列为 x1,x2,?,xn,?X ， P(X?xi)p1,p2,?,pn,?Y?g(X)的分布列（yi?g(xi)互不相等）如下： g(x1),g(x2),?,g(xn),?Y， P(Y?yi)p1,p2,?,pn,?若有某些g(xi)相等，则应将对应的pi相加作为g(xi)的概率。 连续型 先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)＝P(g(X)≤y)，再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。 第三章 二维随机变量及其分布 （1）联合分布 离散型 如果二维随机向量?（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称?为离散型随机量。 设?=（X，Y）的所有可能取值为(xi,yj)(i,j?1,2,?)，且事件{?=(xi,yj)}的概率为pij,,称 P{(X,Y)?(xi,yj)}?pij(i,j?1,2,?) 为?=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示： Y X y1 p11 p21 y2 p12 p22 ? ? ? ? yj p1j p2j ? ? ? x1 x2 ? xi ? pi1 ? ? ? ? pij ? ? ? ? ? 这里pij具有下面两个性质： （1）pij≥0（i,j=1,2,?）； （2）??ijpij?1. 1 概率论与数理统计 公式（全） 2011-1-1 连续型 对于二维随机向量??(X,Y)，如果存在非负函数f(x,y)(???x???,???y???)，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|a 概率论与数理统计 公式（全） 2011-1-1 （5）边缘分布 离散型 X的边缘分布为 Pi??P(X?xi)??pij(i,j?1,2,?)； jY的边缘分布为 P?j?P(Y?yj)??pij(i,j?1,2,?)。 i连续型 X的边缘分布密度为 fX(x)??fY(y)??（6）条件分布 离散型 ???? f(x,y)dy；Y的边缘分布密度为 ????f(x,y)dx. 在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为 P(Y?yj|X?xi)?pijpi? ；在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为 P(X?xi|Y?yj)?连续型 pijp?j, 在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为 f(x|y)?f(x,y)； fY(y)在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为 f(y|x)?（7）独立性 一般型 离散型 f(x,y) fX(x)F(X,Y)=FX(x)FY(y) pij?pi?p?j 有零不独立 f(x,y)=fX(x)fY(y) 直接判断，充要条件： ①可分离变量 ②正概率密度区间为矩形 连续型 二维正态分布 f(x,y)?12??1?21??2?e??x???22?(x??)(y??)?y??1?122????????????2(1??2)?122???1?1????2????, ?＝0 1
概率论与数理统计公式整理（完整版）
