第1讲 三角函数的图象与性质
[做真题]
题型一 三角函数图象及其变换
2π
2x+?,则下面结论正确的1.(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin?3??是( )
π
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个6单位长度,得到曲线C2
π
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个12单位长度,得到曲线C2
1π
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个
26
单位长度,得到曲线C2
1π
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个
212单位长度,得到曲线C2
π1x+?,把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的解析:选D.易知C1:y=cos x=sin??2?2ππ
2x+?的图象,再把所得函数的图象向左平移个单位长倍,纵坐标不变,得到函数y=sin?2??12π2ππ
x+?+?=sin?2x+?的图象,即曲线C2,故选D. 度,可得函数y=sin?2?3????12?2?2.(2016·高考全国卷Ⅲ)函数y=sin x-3cos x的图象可由函数y=sin x+3cos x的图象至少向右平移________个单位长度得到.
ππ
x-?的图象可由函数y=sin x+3cos x=2sin?x+?解析:函数y=sin x-3cos x=2sin??3??3?2π
的图象至少向右平移个单位长度得到.
3
2π答案: 3
题型二 三角函数的性质
ππ?π
1.(2019·高考全国卷Ⅱ)下列函数中,以为周期且在区间??4,2?单调递增的是( ) 2A.f(x)=|cos 2x| C.f(x)=cos|x|
B.f(x)=|sin 2x| D.f(x)=sin|x|
ππ?ππ
,时,2x∈?,π?,函数f(x)解析:选A.A中,函数f(x)=|cos 2x|的周期为,当x∈??42??2?2ππ?ππ
,时,2x∈?,π?,函单调递增,故A正确;B中,函数f(x)=|sin 2x|的周期为,当x∈??42??2?2数f(x)单调递减,故B不正确;C中,函数f(x)=cos|x|=cos x的周期为2π,故C不正确;D
?sin x,x≥0,
中,f(x)=sin|x|=?由正弦函数图象知,在x≥0和x<0时,f(x)均以2π为周期,
-sin x,x<0,?
但在整个定义域上f(x)不是周期函数,故D不正确.故选A.
2.(2019·高考全国卷Ⅰ)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论: ①f(x)是偶函数;
π?
②f(x)在区间??2,π?单调递增; ③f(x)在[-π,π]有4个零点; ④f(x)的最大值为2.
其中所有正确结论的编号是( ) A.①②④ C.①④
B.②④ D.①③
解析:选C.通解:f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),所以f(x)为偶函数,π?π
故①正确;当 所以f(x)可以取到最大值2,故④正确.综上,正确结论的编号是①④.故选C. 优解:因为f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),所以f(x)为偶函数,故①正确,π?π 排除B;当 3.(2018·高考全国卷Ⅱ)若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]是减函数,则a的最大值是( ) π A. 43πC. 4 πB. 2D.π π x+?,且函数y=cos x在区间[0,π]上单解析:选A.法一:f(x)=cos x-sin x=2cos??4?ππ3π 调递减,则由0≤x+≤π,得-≤x≤.因为f(x)在[-a,a]上是减函数,所以 444πππ