1.1 《任意角和弧度制》教案
【教学目标】 1.理解任意角的概念.
2.学会建立直角坐标系讨论任意角,判断象限角,掌握终边相同角的集合的书写. 3.了解弧度制,能进行弧度与角度的换算.
4.认识弧长公式,能进行简单应用.对弧长公式只要求了解,会进行简单应用,不必在应用方面加深.
5.了解角的集合与实数集建立了一一对应关系,培养学生学会用函数的观点分析、解决问题. 【导入新课】
复习初中学习过的知识:角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系 提出问题:
1.初中所学角的概念.
2.实际生活中出现一系列关于角的问题. 3.初中的角是如何度量的?度量单位是什么? 4.1°的角是如何定义的?弧长公式是什么? 5.角的围是什么?如何分类的? 新授课阶段
一、角的定义与围的扩大
1.角的定义:一条射线绕着它的端点O,从起始位置OA旋转到终止位置OB,形成 一个角?,点O是角的顶点,射线OA,OB分别是角?的终边、始边. 说明:在不引起混淆的前提下,“角?”或“??”可以简记为?. 2.角的分类:
正角:按逆时针方向旋转形成的角叫做正角; 负角:按顺时针方向旋转形成的角叫做负角;
零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它为零角. 说明:零角的始边和终边重合. 3.象限角:
在直角坐标系中,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负轴重合,则 (1)象限角:若角的终边(端点除外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角. 例如:30,390,?330都是第一象限角;300,?60是第四象限角.
(2)非象限角(也称象限间角、轴线角):如角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限.例如:90,180,270等等.
说明:角的始边“与x轴的非负半轴重合”不能说成是“与x轴的正半轴重合”.因为
x轴的正半轴不包括原点,就不完全包括角的始边,角的始边是以角的顶点为其端点的
射线.
4.终边相同的角的集合:由特殊角30看出:所有与30角终边相同的角,连同30角自身在,都可以写成30?k?360反之,所有形如30?k?Z?的形式;
?k?360?k?Z?的角都与30角的终边相同.从而得出一般规律: 所有与角?终边相同的角,连同角?在,可构成一个集合
S???|????k?360,k?Z?,
即:任一与角?终边相同的角,都可以表示成角?与整数个周角的和. 说明:终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同.
例1 在0与360围,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限角? (1)?120;(2)640;(3)?95012?. 解:(1)?120?240?360,
所以,与?120角终边相同的角是240,它是第三象限角; (2)640?280?360,
所以,与640角终边相同的角是280角,它是第四象限角; (3)?95012??12948??3?360,
所以,?95012?角终边相同的角是12948?角,它是第二象限角. 例2 若??k?360?1575,k?Z,试判断角?所在象限. 解:∵??k?360?1575?(k?5)?360?225, (k?5)?Z ∴?与225终边相同, 所以,?在第三象限.
例3 写出下列各边相同的角的集合S,并把S中适合不等式?360???720的元素? 写出来:(1)60;(2)?21;(3)36314?.
解:(1)S???|??60?k?360,k?Z?,
S中适合?360???720的元素是
60?1?360??300, 60?0?360?60,
60?1?360?420.(2)S???|???21?k?360,k?Z?,
S中适合?360???720的元素是
?21?0?360??21, ?21?1?360?339,
?21?2?260?699(3)S???|??36314??k?360,k?Z?
S中适合?360???720的元素是
36314??2?360??35646?, 36314??1?360?314?,?36314??0?360?36314.
例4 写出第一象限角的集合M.
分析:(1)在360第一象限角可表示为0???90;
(2)与0,90终边相同的角分别为0?k?360,90?k?360,(k?Z);
(3)第一象限角的集合就是夹在这两个终边相同的角中间的角的集合,我们表示为:
M???|k?360???90?k?360,k?Z?.