增减性 k?0，y随x的增大而增大 k?0，在每个象限，y随x的增大而减小 k?0，y随x的增大而减小 k?0，在每个象限，y随x的增大而增大 (k≠0)中k的意义
（4）反比例函数y＝①过双曲线y?k(k≠0) 上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为k. xkk②过双曲线y?(k≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.
x2
要点八、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点
1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.
2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围. 【典型例题】
类型一、求二次函数和反比例函数的解析式
1.已知抛物线的顶点是(3，-2)，且在x轴上截得的线段长为6，求抛物线的解析式．
【思路点拨】已知抛物线的顶点是(3，-2)，可设抛物线解析式为顶点式，即y?a(x?3)?2，也就是
2y?ax2?6ax?9a?2，再由在x轴上截得的线段长为6建立方程求出a．也可根据抛物线的对称轴是
直线x＝3，在x轴上截得的线段长为6，则与x轴的交点为(0，0)和(6，0)，因此可设y＝a(x-0)·(x-6)． 【答案与解析】
解法一：∵ 抛物线的顶点是(3，-2)，且与x轴有交点，
∴ 设解析式为y＝a(x-3)-2(a＞0)，即y?ax?6ax?9a?2，
2
236a2?4a(9a?2)设抛物线与x轴两交点分别为(x1，0)，(x2，0)．则|x1?x2|??6，
|a|解得a?2． 9224(x?3)2?2，即y?x2?x． 993∴ 抛物线的解析式为y? 解法二：∵抛物线的顶点为(3，-2)，
∴设抛物线解析式为y?a(x?3)?2．
∵对称轴为直线x＝3，在x轴上截得的线段长为6， ∴抛物线与x轴的交点为(0，0)，(6，0)．
2
把(0，0)代入关系式，得0＝a(0-3)-2，
解得a?22， 92(x?3)2?2， 9∴抛物线的解析式为y? 即y?224x?x． 93解法三：求出抛物线与x轴的两个交点的坐标(0，0)，(6，0)
设抛物线解析式为y＝a(x-0)(x-6)，把(3，-2)代入得a?3?(3?6)??2，解得a?∴ 抛物线的解析式为y?2． 9224x(x?6)，即y?x2?x． 993【总结升华】求抛物线解析式时，根据题目条件，恰当选择关系式，可使问题变得简单． 举一反三：
【高清课程名称：二次函数复习
高清ID号：357019 关联的位置名称（播放点名称）：练习题精讲】 【变式】已知抛物线y?mx?4mx?4m?2（m是常数）．
21 ?m?5，且抛物线与x轴交于整数点，求此抛物线的解析式．
5b?4m【答案】（1）依题意，得m?0，∴x?????2，
2a2m4ac?b24m(4m?2)?(?4m)216m2-8m-16m2y??==-2
4a4m4m∴抛物线的顶点坐标为(2,?2)． （2）∵抛物线与x轴交于整数点，
∴mx2?4mx?4m?2?0的根是整数．
（1）求抛物线的顶点坐标； （2）若
4m?16m2?4m(4m?2)22m∴x?． ?2?2m2m2∵m?0，∴x?2?是整数．
m2∴是完全平方数． m122∵?m?5， ∴??10， 55m2∴取1，4，9， m4m?16m2?4m(4m?2)22m． x??2?2m2m
2?1时，m?2； m12当?4时，m?；
2m22当?9时，m?． m912∴m的值为2或或．
29当
∴抛物线的解析式为y?2x?8x?6或y?2122810x?2x或y?x2?x?． 29992.已知y?y1?y2， y1与x成正比例，y2与x成反比例，且x＝2与x＝3时，y的值都等于10．求
y与x间的函数关系式．
【思路点拨】由于y1与x成正比例，可设y1?k1x，y2与x成反比例，可设y2?k2．将y1、y2代入xy?y1?y2，得y?k1x?k2，在y与x的关系式中有两个待定系数k1、k2，利用x与y的两对对应值，x列出两个关于k1、k2的方程，解方程组可求出k1和k2的值，从而写出y与x的函数关系式． 【答案与解析】 解：设y1?k1x，y2?k2， xk由题意得y?k1x?2，将（2，10）与（3，10）代入
x解出k1?2,k2?12， ∴y?2x?12 x【总结升华】注意正比例系数和反比例系数要用不同的k1和k2表示，不要混淆成一个. 举一反三：
【高清课堂406878 反比例函数全章复习 例2】 【变式】已知反比例函数y?k与一次函数y?ax?b的图象都经过点P(2，－1)，且当x?1 时，这x两个函数值互为相反数，求这两个函数的关系式.
【答案】∵双曲线y?k经过点P(2，－1)，∴k?xy?2?(?1)??2． x?2∴反比例函数的关系式为y?，∴当x?1时，y??2．
x当x?1时，由题意知y?ax?b?2，∴直线y?ax?b经过点(2，－1)和(1，2)，
?2a?b??1,?a??3,∴? 解得?
a?b?2,b?5.??
∴一次函数解析式为y??3x?5．
类型二、二次函数和反比例函数的图象及性质
3.函数y?ax?b和y?ax?bx?c(a?0)在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
2
【答案】C；
【解析】 ∵a≠0，∴分a＞0，a＜0两种情况来讨论两函数图象的分布情况．
若a＞0，则y＝ax+b的图象必经过第一、三象限，y?ax?bx?c的图象开口向上，可排除D． 若a＞0，b＞0，则y＝ax+b的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，y?ax?bx?c的图象的对
称轴在y轴的左侧，故B不正确．
若a＞0，b＜0，则y＝ax+b的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，y?ax?bx?c的图象的对
称轴在y轴的右侧，故C正确．
若a＜0，则y＝ax+b的图象必经过第二、四象限，y?ax?bx?c的图象开口向下，故A不正确． 【总结升华】在同一直角坐标系中研究两种函数图象的分布情况，待定系数a，b满足一致性，因此讨论a，b符号的一致性成为解决本题的关键所在．事实上，a，b的符号既决定了一次函数图象的分布情况，又决定了抛物线的开口方向和对称轴的位置．
4.如图所示，在反比例函数y?22222它们的横坐标依次为1，2，(x?0)的图象上有点P1，P2，P3，P4，x3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1+S2+S3=________．
【答案】
3； 2【解析】由题意及图象可知，三个长方形的长都为1，设P1(1，y1)，P2(2，y2)，P3(3，y3)，P4(4，
y4)．代入y?2321 (x?0)可求得y1＝2，y2＝1，y3＝，y4＝，∴S1?S2?S3?1?(y1?y4)?．
x232【总结升华】严格根据点在函数图象上，解出每个矩形的宽度，利用平移将阴影部分组合成一个大矩形，就可以求出S1+S2+S3的值. 类型三、二次函数与方程
5.如图所示，把一张长10cm，宽8 cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成
一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．
(1)要使长方体盒子的底面积为48 cm，那么剪去的正方形的边长应为多少?
(2)折成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况?如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请说明理由；
(3)如果把矩形硬纸板的四周分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样形状、同样大小的矩形，然后折成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况?如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．
【思路点拨】结合题意建立方程模型，注意到题目中剪去的正方形、矩形的边之间的关系：即正方形的边长应当与矩形的短边长度相同，这样才可以折成有盖的长方形盒子．用含字母的代数式表示长方体盒子的侧面积，联系所得出的侧面积与正方形的边长之间的关系式，根据函数的性质可以求出盒子侧面积的最大值.
【答案与解析】
2
(1)设剪去的正方形的边长为x cm，则(10-2x)·(8-2x)＝48，即x-9x+8＝0． 解得x1＝8(不合题意，舍去)，x2＝1． 所以剪去的正方形的边长为1 cm．
2
(2)有侧面积最大的情况．设此时剪去的正方形的边长为x cm，盒子的侧面积为y cm， 则y与x的函数关系式为：y＝2(10-2x)x+2(8-2x)x．
2
9?81? 即y＝-8x+36x，改写为y??8?x???，所以当x＝2.25时，y最大?40.5．
4?2?2
2 即当剪去的正方形的边长为2.25 cm时，长方体盒子的侧面积最大为40.5 cm；
(3)有侧面积最大的情况．
2
设剪去的正方形的边长为x cm，盒子的侧面积为y cm．
若按图所示的方法剪折，则y与x的函数关系式为：
2
10?2x?13?169y?2(8?2x)?2?x，即y??6?x???．
266??2
《二次函数和反比例函数》全章复习与巩固—知识讲解(提高)
