《二次函数和反比例函数》全章复习与巩固—知识讲解（提高）
撰稿：杜少波 审稿：张晓新
【学习目标】
1.理解并掌握二次函数及反比例函数的概念；
2.会用描点法画出二次函数及反比例函数的图象，能从图象上认识函数的性质； 3.熟练记忆二次函数及反比例函数的性质，并用来解决问题； 4.会用待定系数法求二次函数及反比例函数的解析式； 5.能利用二次函数及反比例函数解决一些常见的实际问题.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、二次函数的定义
一般地，如果要点诠释：
是常数，
，那么
叫做的二次函数.
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
要点二、二次函数的图象与性质
1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①
；②
；③
；④
，
其中；⑤.（以上式子a≠0）
几种特殊的二次函数的图象特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 ((轴) 轴) 顶点坐标 (0，0) (0，) (，0) (，) 当时 开口向上 当时 开口向下 2.抛物线的三要素：
开口方向、对称轴、顶点.
(1)的符号决定抛物线的开口方向：当物线的开口大小、形状相同. (2)平行于
轴(或重合)的直线记作
.特别地，
() 时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛
轴记作直线.
3.抛物线的解析式中的a、b、c的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与
中的完全一样.
的对称轴是直线
轴左侧；③
， (即
(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 故：①
时，对称轴为
轴；②
(即、同号)时，对称轴在
、异号)时，对称轴在 (3)的大小决定抛物线 当
时，
轴右侧.
与
轴交点的位置.
与
轴有且只有一个交点(0，)：
，∴抛物线
①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.
.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在4.用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式： (2)顶点式： (可以看成
轴右侧，则
（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.
（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
的图象平移后所对应的函数.)
、
，通常选用交点式：
).
(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标 要点诠释：
（a≠0）.(由此得根与系数的关系：
求抛物线y?ax?bx?c（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
要点三、二次函数与一元二次方程的关系 函数
，当
时，得到一元二次方程
，那么一
2元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时 (2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时 (3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时
，则方程有两个不相等实根；
，则方程有两个相等实根；
，则方程没有实根.
通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系： 的图象 方程有两个不等实数解 方程有两个相等实数解 方程没有实数解
的解
要点诠释：
二次函数图象与x轴的交点的个数由
的值来确定.
，则方程有两个不相等实根；
，则方程有两个相等实根；
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时 (2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
要点四、利用二次函数解决实际问题
利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 要点诠释：
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
要点五、反比例函数的概念
一般地，形如y?k (k为常数，k?0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数，自x变量x的取值范围是不等于0的一切实数. 要点诠释：
在y?可以写成
k
中，自变量x的取值范围是x
的形式.
，y?
k (x
)可以写成()的形式，也
要点六、反比例函数解析式的确定
反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数y?
k
中，只有一个待定系数k，因此x
只需要知道一对x、y的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式. 要点七、反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的图象
k?k?0?的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第x二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无
反比例函数y?限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．
要点诠释：
观察反比例函数
的图象可得：x和y的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又
是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．
k(k?0)的图象是轴对称图形，对称轴为y?x和y??x两条直线； xk②y?(k?0)的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；
xkk③y?和y??(k≠0)在同一坐标系中的图象关于x轴对称，也关于y轴对称.
xx①y?k2，当k1?k2?0时，两图象没有交点；当k1?k2?0时，x两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.
注：正比例函数y?k1x与反比例函数y?
2.反比例函数的性质
（1）图象位置与反比例函数性质
当k?0时，x、y同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小；当k?0时，x、y异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大. （2）若点(a，b)在反比例函数y?k的图象上，则点（?a，?b）也在此图象上，故反比例函数的图象x关于原点对称.
（3）正比例函数与反比例函数的性质比较
解析式 图 象 位 置 直线 正比例函数 反比例函数 有两个分支组成的曲线（双曲线） k?0，一、三象限； k?0，二、四象限 k?0，一、三象限 k?0，二、四象限
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