九年级几何模型压轴题单元测试题（Word版 含解析）
一、初三数学 旋转易错题压轴题（难） 1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6．
（1）如图1，若将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，连接AD，则△ABD的面积为 ．
（2）如图2，点P为CA延长线上一个动点，连接BP，以P为直角顶点，BP为直角边作等腰直角△BPQ，连接AQ，求证：AB⊥AQ；
（3）如图3，点E，F为线段BC上两点，且∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，点M是线段AF上一个动点，点N是线段AC上一个动点，是否存在点M，N，使CM+NM的值最小，若存在，求出最小值：若不存在，说明理由．
【答案】（1）36；（2）详见解析；（3）存在，最小值为3． 【解析】 【分析】
（1）根据旋转的性质得到△ABD是等腰直角三角形，求得AD＝2BC＝12，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）如图2，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，根据等腰直角三角形的性质，得到PQ＝PB，∠BPQ＝90°，根据全等三角形的性质得到PH＝BC，QH＝CP，求得CP＝AH，得到∠HAQ＝45°，于是得到∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，即可得到结论；
（3）根据已知条件得到∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°，求得∠EAC＝30°，如图3，作点C关于AF的对称点D，过D作DN⊥AC于N交AF于M，则此时，CM+NM的值最小，且最小值＝DN，求得AD＝AC＝6，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】
解：（1）∵将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∵∠ACB＝90°， ∴BC⊥AD， ∴AD＝2BC＝12， ∴△ABD的面积＝故答案为：36；
（2）如图，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，
11AD?BC＝?12×6＝36， 22
∴∠H＝∠C＝90°， ∵△BPQ是等腰直角三角形， ∴PQ＝PB，∠BPQ＝90°，
∴∠HPQ+∠BPC＝∠QPH+∠PQH＝90°， ∴∠PQH＝∠BPC， ∴△PQH≌△BPC（AAS）， ∴PH＝BC，QH＝CP， ∵AC＝BC， ∴PH＝AC， ∴CP＝AH， ∴QH＝AH， ∴∠HAQ＝45°， ∵∠BAC＝45°，
∴∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∴AB⊥AQ；
（3）如图，作点C关于AF的对称点D，过D作DN⊥AC于N交AF于M，
∵∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，∠BAC＝45°， ∴∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°， ∴∠EAC＝30°，
则此时，CM+NM的值最小，且最小值＝DN， ∵点C和点D关于AF对称， ∴AD＝AC＝6， ∵∠AND＝90°， ∴DN＝
11AD＝?6＝3， 22∴CM+NM最小值为3． 【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，正确的作出作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2．如图，在矩形ABCD中，AB?6cm，AD?8cm，连接BD，将△ABD绕B点作顺时针方向旋转得到△A?B?D?（B′与B重合），且点D?刚好落在BC的延长上，A?D?与
CD相交于点E．
（1）求矩形ABCD与△A?B?D?重叠部分（如图1中阴影部分A?B?CE）的面积； （2）将△A?B?D?以每秒2cm的速度沿直线BC向右平移，如图2，当B′移动到C点时停止移动．设矩形ABCD与△A?B?D?重叠部分的面积为y，移动的时间为x，请你直接写出y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x，使得△AA?B?成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x的值，若不存在，请你说明理由．
16?323?x?x?24(0?x?)??245225cm；（2）y??【答案】（1）；（3）存在，使得
880200162?x2?x?(?x?4)?335?3366?9． △AA?B?成为等腰三角形的x的值有：0秒、秒、25【解析】 【分析】
（1）先用勾股定理求出BD的长，再根据旋转的性质得出B?D??BD?10cm，
CD??B?D??BC?2cm，利用?B?D?A?的正切值求出CE的值，利用三角形的面积差即可求阴影部分的面积；
1616?x?4时，分别列出函数表达式； （2）分类讨论，当0?x?时和当
55（3）分类讨论，当AB??A?B?时；当AA??A?B?时；当AB??AA?时，根据勾股定理列方程即可． 【详解】
解：（1）AB?6cm，AD?8cm， ?BD?10cm，
根据旋转的性质可知B?D??BD?10cm，CD??B?D??BC?2cm，
tan?B?D?A??6CE??， 82A?B?CE?， A?D?CD?3?CE?cm，
2?SA?B?CE?SA?B?D??SCED??（2）①当0?x?8?6345?2??2??cm2?； 222163时，CD??2x?2，CE?x， 52?S△CD?E?323x+x， 221333?y??6?8?x2??x2?x?24；
2222②当
164?x?4时，BC?10?2x，CE??10?2x? 53148802002?y???10?2x??x2?x?．
23333（3）①如图1，当AB??A?B?时，x?0秒；
②如图2，当AA??A?B?时，A?N?BM?BB??B?M?2x?1824，A?M?NB?， 55AN2?A?N2?36，
24??18????6????2x???36，
5??5??解得：x?2266?9?66?9秒，（x?舍去）； 55③如图2，当AB??AA?时，A?N?BM?BB??B?M?2x?1824，A?M?NB?， 55AB2?BB?2?AN2?A?N2
24??18???36?4x??6????2x??
5??5??222解得：x?3秒． 2366?9秒、． 25综上所述：使得△AA?B?成为等腰三角形的x的值有：0秒、
【点睛】
本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全面的分析问题，思考问题是解决问题的关键．
3．请阅读下列材料：
问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=3，PC=1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．
李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），从而得到∠BPC=∠AP′B=__________；，进而求出等边△ABC的边长为__________； 问题得到解决．
请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=5，BP=2，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．
【答案】（1）150°，7；（2）135°，5 【解析】
试题分析：（1）利用旋转的性质，得到全等三角形.
(2)利用（1）中的解题思路，把△BPC,旋转，到△BP’A,连接PP’,BP’，容易证明△APP’是直角三角形，∠BP’E=45°，已知边BP’=BP=2，BE=BP’=1，勾股定理可求得正方形边长. （1）150° 7
（2）将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A． ∴AP′=PC=1，BP=BP′=2； 连接PP′，在Rt△BP′P中， ∵BP=BP′=2，∠PBP′=90°， ∴PP′=2，∠BP′P=45°；
在△AP′P中，AP′=1，PP′=2，AP=5，
九年级几何模型压轴题单元测试题(Word版 含解析)
