第一章 计数原理
滚动训练二(§1.1～§1.3)
一、选择题
?3?n1．设二项式?3x＋?的展开式各项系数的和为a，所有二项式系数的和为b，若a＋2b＝80，
?
x?
则n的值为( ) A．8 B．4 C．3 D．2 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 C
解析 由题意a＝4，b＝2，∵a＋2b＝80， ∴4＋2×2－80＝0，
即(2)＋2×2－80＝0，解得n＝3.
2．已知甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( ) A．150种 B．180种 C．300种 D．345种 考点 排列的应用
题点 元素“在”与“不在”问题 答案 D
解析 由题知共有C5C6C2＋C5C3C6＝345(种)选法．
3．3对夫妇去看电影，6个人坐成一排，若女性的邻座只能是其丈夫或其他女性，则不同的坐法种数为( )
A．54 B．60 C．66 D．72 考点 排列的应用
题点 元素“相邻”与“不相邻”问题 答案 B
解析 记3位女性为a，b，c，其丈夫依次为A，B，C,3位女性都相邻的可能情形有两类：第一类，男性在两端(如BAabcC)，有2A3种坐法；第二类，男性在一端(如BCAabc)，有2A2A3种坐法，故共有A3(2A2＋2)＝36(种)坐法．仅有两位女性相邻的可能情形也有两类：第一类，这两人在一端(如abBACc)；第二类，这两人两端都有其他人(如AabBCc)，共有2A3(1＋1)＝24(种)坐法．综上，满足题意的坐法共有36＋24＝60(种)．
2
3
2
3
23
211
112
nnnnn2n 1
4．9名同学分别到数学、物理、化学3个学习小组参加研究性学习活动，每组3人，则不同的分配方案种数为( ) A．CCA C．C9C6C3
考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 C
解析 分配方案分三步完成：第一步，从9名同学中选3人到数学学习小组，有C9种方法；第二步，从其余的6名同学中选3人到物理学习小组，有C6种方法；第三步，剩余的3名同学到化学学习小组，有C3种方法．根据分步乘法计数原理知，不同的分配方案共有C9C6C3种．
3
333
3
3
333333
963
C9C6C3B.3
A3
D．以上都不对
333
?1?42
5.?1＋?(1＋x)的展开式中，含x的项的系数为( ) ?
x?
A．10 B．6 C．4 D．12 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中特定项的系数 答案 A
1422
解析 根据乘法公式，得因式1＋中的1和(1＋x)展开式中含x的项相乘可得含x的项；
x114324
因式1＋中的和(1＋x)展开式中含x的项相乘可得含x的项．(1＋x)展开式的通项为Tkxx＋1
133?1?kk42222
＝C4x(k＝0,1，…，4)，故?1＋?(1＋x)展开式中含x的项为1·C4x＋·C4x＝10x，即
?x?
x含x的项的系数为10.
6．从集合{1,2,3，…，10}中选出由5个数组成的子集，使得这5个数中任何两个数的和不等于11，则这样的子集共有( ) A．10个 B．16个 C．20个 D．32个 考点 组合的应用
题点 有限制条件的组合问题 答案 D
解析 因为这10个数中两数之和为11的共有5组，即(1,10)，(2,9)，(3,8)，(4,7)，(5,6)，所以从10个数中任取5个数组成一个子集，使得这5个数中任何两个数的和不等于11的子集个数共有C2C2C2C2C2＝32(个)．
7．把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在如图1,2,3,4,5,6,7，所示的位置上，其中3盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法有( )
11111
2
2
A．2 680种 C．4 920种 考点 排列的应用 题点 排列的简单应用 答案 B
解析 先将7盆花全排列，共有A7种排法，其中3盆兰花排在一条直线上的排法有5A3A4(种)，故所求摆放方法有A7－5A3A4＝4 320(种)．
8．在(ax＋1)的展开式中，x的系数是x的系数和x的系数的等比中项，则实数a的值为( )
254255A. B. C. D. 9533考点 展开式中系数的和问题 题点 多项展开式中系数的和问题 答案 A
解析 ∵(ax＋1)的二项展开式的通项为Tk＋1＝C7(ax)
77
3
2
5
7
34
7
34
B．4 320种 D．5 140种
k7－k，∴x的系数是C7a，x的系数是C7
34325
53254325225a2，x5的系数是C27a.∵x的系数是x的系数与x的系数的等比中项，∴(C7a)＝C7a×C7a，
25∴a＝. 9二、填空题
9．不等式An－1－n<7的解集为________． 考点 排列数公式
题点 解含有排列数的方程或不等式 答案 {3,4}
解析 由不等式An－1－n<7，得(n－1)(n－2)－n<7，整理得n－4n－5<0，解得－1 解析 由已知条件可得a5＝C8·(－m)＝－56m＝56，∴m＝－1， 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a8＝2，① 3 8 3 3 3 8 2 8 * * 2 2 2 2 令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝0，② 2＋0 由①＋②，得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝＝128. 211．若(1－2x) 2 017 8 ＝a0＋a1x＋…＋a2 017x2 017 (x∈R)，则＋2＋…＋2 017的值为________． 222 a1a2a2 017 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 －1 解析 (1－2x)＝0， 其中a0＝1，所以＋2＋…＋2 017＝－1. 222 12．将A，B，C，D，E，F 6个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种．(用数字作答) 考点 排列的应用 题点 排列的简单应用 答案 480 解析 按C的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘2即可．当C在左边第1个位置时，有A5种排法，当C在左边第2个位置时有A4A3种排法，当C在左边第3个位置时，有A3A3＋A2A3(种)排法．所以不同的排法共有2(A5＋A4A3＋A3A3＋A2A3)＝480(种)． 三、解答题 13．学校选派5名同学参加“华约”“北约”“卓越联盟”自主招生考试，每项考试至少选派1人参加，共有多少种不同的选派方法？ 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 解 可先分组，再分配，分两个步骤完成．先把5名同学分成三组：①一组3人，另两组各C5C2C1C5C4C2 1人，有2种方法；②一组1人，另两组各2人，有2种方法．再把三组学生分配到“华 A2A2 311 122 5 23 23 23 23 23 23 5 2 017 ＝a0＋a1x＋…＋a2 017x2 017 1?2 0171a1a2a2 017?，令x＝，则?1－2×?＝a0＋＋2＋…＋2 017 2?2222? a1a2a2 017 ?C5C2C1C5C4C2?约”“北约”“卓越联盟”参加考试，有A种方法．故不同的的选派方法共有?2＋2?A2??A2 3 3 311122 A3＝150(种)． 四、探究与拓展 3 ?31?n* 14．若n∈N，n<100，且?x＋2?的展开式中存在常数项，则所有满足条件的n的值的和是 x? ? 4 ________． 考点 二项式定理的应用 题点 二项式定理的简单应用 答案 950 ?31?n?1?kk3n－5k，令3n－5k＝0，得n＝5k.k3n－k解析 ?x＋2?的展开式的通项为Tk＋1＝Cn(x)·?2?＝Cnxx?3??x? 当k＝3,6，…，57时，n＝5,10，…，95，故所有满足条件的n的值的和是5＋10＋…＋95＝ 19×?5＋95? 2 ＝950. 15．已知(1－2x)n＝aa2 n* 0＋a1x＋2x＋…＋anx(n∈N)，且a2＝60，求： (1)n的值； (2)－a1a2a3 nan2＋22－23＋…＋(－1)2n的值． 考点 二项式定理的应用 题点 二项式定理的简单应用 解 (1)因为T2 2 2 3＝Cn(－2x)＝a2x， 所以a2 22＝Cn(－2)＝60， 化简可得n(n－1)＝30，且n∈N* ， 解得n＝6. (2)Tkk＋1＝C6(－2x)k＝akkkkx，所以ak＝C6(－2)， 所以(－1) kakk2 k＝C6， －a1a2a3nan2＋22－23＋…＋(－1)2 n ＝C16＋C26＋…＋C66＝26－1＝63. 5
（部编本人教版）最新版高中数学 第一章 计数原理滚动训练二 新人教A版选修2-3[必做练习]
