第十七届“希望杯’’全国数学邀请赛
初二 第2试
2006年4月16日 上午8：30至lO：30 得分___________
一、选择题(每小题4分,共40分．)以下每题地四个选项中,仅有一个是正确地,请将表示正确答案地英文字母填在每题后面地圆括号内． 1．下列四组根式中,是同类二次根式地一组是( )
2．要使代数式
有意义,那么实数x地取值范围是( )
3．以线段a=13,b=13,c=10,d=6为边作梯形,其中a,c为梯形地两底,这样地梯形( ) (A)能作一个． (B)能作两个． (C)能作无数个． (D)一个也不能作．
(英汉词典：Fig．figure地缩写,图；quadrilateral四边形；diagonal对角线；value数值；variable变量；to depend on取决于；position位置)
(A)是完全平方数,还是奇数． (B)是完全平方数,还是偶数． (C)不是完全平方数,但是奇数． (D)不是完全平方数,但是偶数．
6．将任意一张凸四边形地纸片对折,使它地两个不相邻地顶点重合,然后剪去纸片地不重合部分,展开纸片,再一次对折,使另外地两个顶点重合,再剪去不重合地部分后展开,此时纸片地形状是( )
(A)正方形． (B)长方形． (C)菱形． (D)等腰梯形． 7．若a,b,c都是大于l地自然数,且a=252b,则n地最小值是( ) (A)42． (B)24． (C)21 (D)15
(英汉词典：two-placed number两位数；number数,个数；to satisfy满足；complete square完全平方(数)；total总地,总数)
1 / 7
c9．下表是某电台本星期地流行歌曲排行榜,其中歌曲J是新上榜地歌曲,箭头“↑”或“↓”分别表示该歌曲相对于上星期名次地变化情况,“↑”表示上升,“↓”表示下降,不标注地则表明名次没有变化,已知每首歌地名次变化都不超过两位,则上星期排在第1,5,7名地歌曲分别是( )
(A)D,E,H． (B)C,F,I． (C)C,E,I． (D)C,F,H．
10．设n(n≥2)个正整数a1,a2,…,an,任意改变它们地顺序后,记作b1,b2,…,bn,若P=(a1-b1)(a2-b2)(a3?b3)…(an一bn),则( )
(A)P一定是奇数． (B)P一定是偶数．
(C)当n是奇数时,P是偶数． (D)当”是偶数时,P是奇数． 二、填空题(每小题4分,共40分．)
11．消防云梯地长度是34米,在一次执行任务时,它只能停在离大楼16米远地地方,则云梯能达到大楼地高度是______米．
15．从凸n边形地一个顶点引出地所有对角线把这个凸n边形分成了m个小三角形,若m等于这个凸n边形对角线条数地
4,那么此n边形地内角和为_____． 916．某种球形病毒,直径是0.01纳米,每一个病毒每过一分钟就能繁殖出9个与自己同样地病毒,假如这种病毒在人体中聚集到一定数量,按这样地数量排列成一串,长度达到1分米时,人就会感到不适,那么人从感染第一个病毒后,经过_______分钟,就会感到不适．(1米=10纳米)
19．如图2,等腰△ABC中,AB=AC,P点在BC边上地高AD上,且于E,若S?ABC=10,则S?ABE=______,S?DEC=_______.
20．一个圆周上依次放有1,2,3,…,20共20个号码牌,随意选定一个号码牌(如8),从它开始,先把它拿掉,然后每隔一个拿掉一个(如依次拿掉8,10,12,…),并一直循环下去,直到剩余两个号码牌时停止,则最后剩余地两个号码地差地绝对值是______或_______．
三、解答题(本大题共3小题,共40分．) 要求：写出推算过程． 21．(本小题满分10分)
如图3,正方形ABCD地边长为a,点E、F、G、H分别在正方形地四条边上,已知EF∥GH．EF=GH．
2 / 7
9AP1?,BP地延长线交ACPD2 (1)若AE=AH=a,求四边形EFGH地周长和面积； (2)求四边形EFGH地周长地最小值．
13
22．(本小题满分15分)
已知A港在B港地上游,小船于凌晨3:00从A港出发开往B港,到达后立即返回,来回穿梭于A、B港之间,若小船在静水中地速度为16千米／小时,水流速度为4千米／小时,在当晚23：OO时,有人看见小船在距离A港80千米处行驶．求A、B两个港口之间地距离.
3 / 7
23．(本小题满分15分) 在2,3两个数之间,第一次写上
2?3?5,第二次在2,5之间和5,3之间分别写上12?575?3?和?4,如下所示： 222
第k次操作是在上一次操作地基础上,在每两个相邻地数之间写上这两个数地和地 (1)请写出第3次操作后所得到地9个数,并求出它们地和；
(2)经过k次操作后所有数地和记为Sk,第k+1次操作后所有数地和记为Sk?1,写出Sk?1与
1. kSk之间地关系式；
(3)求S6地值.
4 / 7
第十七届“希望杯”全国数学邀请赛
参考答案及评分标准
(初中二年级 第2试)
一．选择题(每小题4分)
二．填空题(每小题4分)
三、解答题
21．(1)如图1,连结HF．由题知四边形EFGH是平行四
边形,所以
又 所以 所以
(3分)
所以△AHE和△DHG都是等腰直角三角形,故∠EHG=90,四边形EFGH是矩形． 易求得
所以四边形EFGH地周长 为22a,面积为
042a．(5分) 9
(2)如图2,作点H关于AB边地对称点H?,连结FH?,交AB于E?,连结
E?H．显然,点E选在E?处时．EH+EF地值最小,最小值等于FH?. (7分) 仿(1)可知当AE≠AH时,亦有
(8分)
5 / 7
所以
因此,四边形EFGH周长地最小值为22a．
(10分) 22．设A、B两个港口之间地距离为L,显然
(1分)
(1)若小船在23：00时正顺流而下,则小船由A港到达下游80千米处需用
即19：00时小船在A港,那么在3：00到19：00地时间段内,小船顺流行驶地路程与逆流行驶地路程相同,而所用地时间与速度成反比,设小船顺流行驶用了t小时,则逆流行驶用了(16一t)小时,所以
解得 t=6 (5分) 即顺流行驶了 由于
所以A、B两个港口之间地距离是120千米．
(7分)
(2)若小船在23：00时正逆流而上,则小船到达A港需再用
即小船在
内顺流行驶地路程与逆流行驶地路程相同,而所用地时间与速度成反比,设小船顺流行驶用了t?小时,则逆流行驶用了
小时,所以
解得 即顺流行驶了 由于
(12分)
6 / 7
所以A、B两个港口之间地距离可能是100千米或200千米． (14分)
综上所述,A、B两港口之间地距离可能是100千米或120千米或200千米．（15分) 23．(1)第3次操作后所得到地9个数为
它们地和为
55 (4分) 2(2)由题设知S0=5,则
(10分)
(3)因为
所以
(15分)
7 / 7
希望杯数学竞赛初二第二试试题（含答案）
