平面向量复习基本知识点及经典结论总结

由天下分享时间：2024/12/17 17:51:27 加入收藏我要投稿点赞

-平面向量复习基本知识点及经典结论总结

平面向量

??①向量????②零向量???③单位向量?一、向量的基本概念内容???④相等向量??⑤相反向量?????⑥平行向量??①几何表示法??二、向量的表示表示方法?②符号表示法???③坐标表示法????①共线定理????②共线定理应用???③不共线定理应用向量????④实数与向量的积??⑤平面向量的数量积???三、平面向量的基本定理???⑥向量的运算??⑦向量的运算律????⑧向量平行(共线)的充要条件??⑨向量垂直的充要条件?? ???⑩平移公式???①在几何中的应用???四、平面向量的基本应用?②在解析中的应用???③在解斜三角形的应用????④在物理中的应用?

学习方法：①理论意义、实际意义；

②基本概念，知识网络，思想方法，基本技巧；

③五步学习法：讲清内容，整理内容，课后练习，讲解练习，总结练习；

④基本考点：a、向量的运算及其几何意义； b、向量的线性运算； c、共线问题；

e、基本定理应用及其向量分解； d、坐标表示及其运算； f、平行问题的坐标表示； g、数量积的运算； h、夹角问题； i、模长及垂直条件； j、在平面几何中应用； k、在解析几何中的应用；l、在解三角形中的应用； m、在物理中的应用；

一、向量有关概念：

①向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，向量可以平移； ②零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；

作用:１、解决矛盾；２、零向量和任何非零向量平行；３、一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量；

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③单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是?AB)；单位化

|AB|④相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；大小和方向有关，与位置无关； ⑤相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a； ⑥平行向量（共线向量）：

１、方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量；

２、记作：a∥b零向量和任何非零向量平行；

３、两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；４、平行向量无传递性！（因为有0)；

５、三点A AC共线；、B、C共线?AB、⑦相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； a、向量的运算及其几何意义：例１、下列命题：

①若a?b，则a?b；②两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同； ③若AB?DC，则ABCD是平行四边形；④若ABCD是平行四边形，则AB?DC；

⑤若a?b,b?c，则a?c；⑥若a//b,b//c，则a//c；其中正确的是_______

例２、下列命题正确是：

①若a?0，则?a?0；

②若非零向量a与b方向相同或相反，则a?b与a,b之一的方向相同； ③若a?0，则a?0；

④若a?b，则a?b或a??b； ⑤若ab，则a?b； ⑥若abc，则ac；

⑦a?b?a?b?a与b方向相同；

⑧向量b与向量a共线的充要条件是有且仅有只有一个实数?，使得b??a；

⑨AB?BA?0；⑥若?a??b，则a?b；

“三角形法则”和“平行四边形法则” b、向量的线性运算：

例３、已知?ABC中，点D在BC边上，且CD?2DB，CD?rAB?sAC，则r?s的值是___

例４、已知AD,BE分别是?ABC的边BC,AC上的中线,且AD?a,BE?b,则BC可用向量a,b表示为_____ 例５、边长为1的正三角形ABC中，设BC?2BD,CA?3CE，则AD?BE?？

c、共线问题：

???????????????例６、已知OA?a,OB?b,OC?c,OD?d,OE?e，设t?R，如果3a?c,2b?d,e?ta?b，那么t为何值时， C、D、E三点在一条直线上？

例７、如图1，已知点G是?ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且AM?xAB，

??11AN?yAC，则??3。

A xy

B 图1 例１、④⑤

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例２、①

例３、解:用零向量解决矛盾

CD?rAB?sAC,CD?2DB?CD?r(AD?DB)?s(AD?DC)?(r?s)AD?rDB?sDC?(2?2s?r)DB?(r?s)AD?r?s?0,2?2s?r?0

例４、解:

AD?a,BE?b.?BC?BE?EC?b?111124AC?b?(AD?DC)?b?(a?BC)?BC?a?b 22223311b,BE?BC?CE?a?b， 23例５、

解：设CA?a,CB?b，则a?b?1,a,b?60，由题意，得AD?AC?CD??a?121271AD?BE??a?b?a?bcosa,b??3264

CD?d?c?2b?3a,CE?e?c?(t?3)a?tb，例６、解：C、D、E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，

使得CE?kCD，即?t?3?a?tb?3ka?2kb，整理得?t?3?3k?a??2k?t?b；当a,b共线，则t可为任意实数；当a,b不共线，则有?6?t?3?3k?06?t?；综上，t任意，共线，t?，不。

55?t?2k?0 例７、点G是?ABC的重心，知GA?GB?GC?O，得?AG?(AB?AG)?(AC?AG)?O，

1有AG?(AB?AC)。又M，N，G三点共线（A不在直线MN上），于是存在?,?，

3?????11?使得AG??AM??AN(且????1)，有AG??xAB??yAC=(AB?AC)，得?1，

3?x??y??3?11于是得??3。

xy二、向量的表示方法：

①几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后； ②符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；

③坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内的任一向量a可表示为a?xi?yj??x,y?，称?x,y?为向量a的坐标，a＝?x,y?叫做向量a的坐标表示。

如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

d、坐标表示及其运算；

例１、若a?(1,1),b?(1,?1),c?(?1,2)，则c?______

例２、如平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(?1,3),若点C满足OC??1OA??2OB, 其中?1,?2?R且?1??2?1,则点C的轨迹是_______ e、基本定理应用及其向量分解：

例３、给定两个长度为１的平面向量OA和OB，它们的夹角为120.

如图，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.

若OC?xOA?yOB，其中x,y?R，则x?y的最大值是？

例４、已知O是?ABC的外心，AB?2,AC?1,?ABC?120.若AO??1AB??2AC，则?1??2?？

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1?????1?????13?2?c??a??b,a?(1,1),b?(1,?1),c?(?1,2)????c?a?b 例１、解：?22?2????????3??2例２、向量PA、 PB、 PC中三终点A、B、C共线?存在实数?、?使得PA??PB??PC且????1.直线AB

例３、

1?cos??x?y??OC?OA?xOA?OA?yOB?OA??2解：方法一、设?AOC??，则?，即?

??cos(120??)??1x?y?OC?OB?xOA?OB?yOB?OB??2??? 所以x?y?2?cos??cos?120?????cos??3sin??2sin?????2.

??6??方法二、将向量式OC?xOA?yOB两边平方，得1?OC?xOA?yOB因为?xy??2??2?x2?y2?xy?(x?y)2?3xy，

1122?x?y?，故1??x?y?,??2?x?y?2. 44 方法三、以直线OA为x轴，过O垂直于OA的直线为y轴建立平面直角坐标系，则A?1,0?,B???13?,?,C??,?? ?22?11??x??????x?y???13?23??y?，即?代入OC?xOA?yOB可得??,????x?y,， ??22?????3?y?2???3?2?2

?1?????1,????,1?,???0,1?，所以由柯西不等式，得x?y???3??12??2?2?3?2?2??2?2.

方法四、设?AOC??，作平行四边形OECD，则OC?OE?OD.设OE?x,OD?y,在?OCE中使用正

弦定理得

xy11?sin???60??sin???2sin???60? ???x?y??sin60?sin???60?sin?sin601，设OC与AB的交点为M，OM??1???OA??OB，则由 21 OC?tOM?t??1????OA??OB??t?0?，得x?y?t，且两边取模并平方整理得t? ??23??3??1故tmax?t???max?t????2.

方法五、OA?OB?OA?OB?cos120????2??x?y?cos??3sin??2sin??????2??，，当时，x?y?2. ??????63???3???例４、已知O是?ABC的外心，AB?2,AC?1,?ABC?120.若AO??1AB??2AC，则?1??2?？

方法六、设C?cos?,sin?????0,?2?AO?AB??AB??2AC?AB?1解：方法一、点乘法：AO??1AB??2AC两边同时乘以AB,AC得?， 2??AO?AC??1AB?AC??2AC1 / 1

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51????2R??4???12???2Rcos?OAB?4?1??213??16R????1??2?. 即?，所以?6?Rcos?OAC???1??2?R?1???1??2??2?4?2R??3?方法二、坐标法：以A点为原点，以CA及其垂直平分线所在的直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系.由余弦定

理得BC?即O?,7，再由正弦定理得BCsinA?2R?AO?R?5317，AD?，所以OD?，

623?153??153??AO???,?，而B?1,3,AC??1,0?,AB??1,3，

?26??26?????51????????1?16?13?2?2???AO???1??2,3?1，于是?，所以?1??2?. 546?3?1?3??2???6?3???

三、平面向量的基本定理：共线和不共线定理 ?

???①共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数?，使得b??a。

ⅰ、提供证明共线或平行的方法。

ⅱ、定比分点坐标公式，中点坐标公式，重心公式。

f、平行问题的坐标表示；