一、单项选择题（每题2分，共20分） P61关于严平稳与（宽）平稳的关系；
弱平稳的定义：对于随机时间序列yt，如果其期望值、方差以及自协方差均不随时间t的变化而变化，则称yt为弱平稳随机变量，即yt必须满足以下条件： 对于所有时间t，有 （i）
E（yt）=μ为不变的常数；
（ii） Var（yt）=σ2为不变的常数；
（iii） γj=E[yt-μ][yt-j-μ]，j=0，±1，,2，… （j为相隔的阶数）
（μ=0，cov（yt，yt-j）=0，Var（yt）=σ2时为白噪音过程，常用的平稳过程。） 从以上定义可以看到，凡是弱平稳变量，都会有一个恒定不变的均值和方差，并且自协方差只与yt和yt-j之间的之后期数j有关，而与时间t没有任何关系。 严平稳过程的定义：如果对于任何j1,，j2，...,jk,随机变量的集合（yt，
yt+j1,，yt+j2，…，yt+jk）只依赖于不同期之间的间隔距离（j1，j2，…，
jk），而不依赖于时间t，那么这样的集合称为严格平稳过程或简称为严平稳
过程，对应的随机变量称为严平稳随机变量。 P46 Xt 的k阶差分是；△
ｋ
Xt=△
ｋ-1
Xt-△ Xt-1，△ 表示差分符号。
ｋ-1
ｐ
滞后算子；P54对于AR： Lpyt=yt-p，对于MA：L特征方程为：λ
p
εt=εt-ｐ
AR（p）模型即自回归部分的特征根—平稳性；确定好差分方程的阶数，则其
-α1λp-1-α2λp-2-…-αp=0，若所有的特征根的│λ│<1则平稳
1p
补充：逆特征方程为：1-α1ｚ-α2ｚ2-…-αpｚ=0，若所有的逆特征
根│ｚ│>1，则平稳。注意：特征根和逆特征方程的根互为倒数。 如：p57作业3： yt=1.2yt-1-0.2yt-2+εt，为二阶差分，其特征方程为：λ2-1.2λ+0.2=0，解得λ1=1，λ2=0.2，由于λ1=1，所以不平稳。
MA(q)模型Xt??t?1.1?t?1?0.24?t?2，则移动平均部分的特征根----可逆性；p88 所谓可逆性，就是指将MA过程转化成对应的AR过程 MA可逆的条件是其逆特征方程的根全部落在单位圆外，
1pｚ+θｚ2+…+θｚ=0，│ｚ│>1， 12p
此题q为2，逆特征方程为：1-1.1ｚ+0.24ｚ2=0， 解得：Z=
即1+θ
关于AR（p）模型与MA（q）的拖尾与截尾---建模观察相关图定阶；如表所示： AR（p） MA（q） ARMA（p，q） ACF 拖尾 q期后截尾 拖尾 PACF P期后截尾 拖尾 拖尾 若一序列满足ARIMA( p, d, q)模型(d > 0) , 则此序列平稳吗？
答：平稳，因为ARIMA( p, d, q)模型表表示经过d次差分后的序列，其必定是平稳时间序列。
二、填空题（每题2分，共20分）。 平稳时间序列的特点：平稳时间序列的特征方程的单位根的绝对值都小于1,逆特征方程的根的绝对值都大于1。 （i）
E（yt）=μ为不变的常数；
（ii） Var（yt）=σ2为不变的常数；
（iii） γj=E[yt-μ][yt-j-μ]，j=0，±1，,2，… （j为相隔的阶数）
ARMA 所对应的AR特征方程为？其MA逆特征方程为？ 对于自回归移动平均过程ARMA（p，q）：yt=c+α1
yt-1 +α2 yt-2+…+αp
yt-p+εt+θ1εt+θ2εt-2+…+θqεt-q，其对应的AR的特征方程为：
λ-α1λ-α2λ-…-αp=0，MA的逆特征方程为：1+θ
p
p-1
p-2
1
ｚ+θ2ｚ
1
2+…+θpｚp=0
已知AR（1）模型为：xt?2?0.7xt-1??t，20/3 ,偏自相关系数?11= 0.7 。
设{xt}为一时间序列，B为延迟算子，则B2yt?yt-2 。
如果观察序列的时序图平稳，并且该序列的自相关图拖尾，偏相关图1阶截尾，则选用什么ARMA模型来拟合该序列？
ARMA模型包括：AR（）,MA（）.ARMA（）。
?t~WN(0,??2)，则E(xt)=
由此表可知 AR（p） MA（q） ARMA（p，q） ACF 拖尾 q期后截尾 拖尾 PACF P期后截尾 拖尾 拖尾 应选用AR（1）模型来拟合该序列，
条件异方差模型记号: ARCH(p),
GARCH(p，q),GARCH-in-Mean,TGARCH,EGARCH,PGARCH,CGARCH,
三、计算题（ 共4小题，每小题5分，共20分） P57 运用滞后算子得出其逆特征方程
1-α1ｚ-α2ｚ2-…-αpｚ=0。或用特征方程：：λp-α1λp-1-α2λp-2-…-αp=0
例p57（1）.yt=1.2yt-1-0.2yt-2+εt，
为二阶差分，其特征方程为：λ2-1.2λ+0.2=0，解得λ1=1，λ2=0.2，由于λ1=1，所以不平稳。为一阶单整。
对下列ARIMA模型，求E(?Yt)和Var(?Yt)。
Yt?3?Yt?1?et?0.75et?1 （et为零均值、方差为?e2的白噪声序列）
?E(?Yt)?E(3?et?0.75et?1)?3?252 ?22Var(?Y)?Var(3?e?0.75e)?(1?0.75)???ettt?1e?16?
1p
关于上面答案的分析：var表示方差，因为白噪音为均值为零、相关系数 cov（yt，yt-j）=0也为零，又方差为?e2，所以得到以上运算结果； 注意方差的运算及性质：
1．设C为常数，则D(C) = 0（常数无波动）； 2．D(CX)=C2 D(X) （常数平方提取）； 3.当X与Y相互独立时，D(X±Y)=D(X)+D(Y)
4.当X与Y不独立时，D(X±Y)=D(X)+D(Y)+cov（X,Y）
对于ARMA过程 写出其自回归部分ar()及移动平均部分 ma()的特征方程，并求出其各自的特征根，进而判断所给定的过程是否稳定？是否可逆？ 对于自回归移动平均过程ARMA（p，q）：
yt=c+α1 yt-1 +α2 yt-2+…+αp yt-p+εt+θ1εt+θ2εt-2+…+θqεt-q，其
对应的AR的特征方程为：λp-α1λp-1-α2λp-2-…-αp=0，MA的逆
金融时间序列分析复习资料
