八、(本题满分14分)
23．(1)如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系；
(2)小聪延长CD至点G，使DG＝BE，连接AG，得到△ADG，从而发现EF＝BE＋FD，请你利用图①证明上述结论； (3)如图②，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足______________关系时，仍有EF＝BE＋FD，说明理由．
参考答案
1．4 2.82° 3.50° 4．①②③④ 5-14：．D .D .A .C .B .C .D .C .D ．C
15.解：(1)∵△ABE≌△ACD，∴BE＝CD，∠BAE＝∠CAD.又∵BE＝6，DE＝2，∴EC＝DC－DE＝BE－DE＝4，∴BC＝BE＋EC＝10.(4分)
(2)∵∠CAD＝∠BAC－∠BAD＝75°－30°＝45°，∴∠BAE＝∠CAD＝45°，∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝45°－30°＝15°.(8分)
16．证明：∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠AEC＝∠BFD＝90°.(2分)在Rt△ACE和Rt△BDF中，∵?
?AC＝BD，?
??CE＝DF，
∴Rt△ACE≌Rt△BDF(HL)，(5分)∴∠A＝∠B，∴AC∥BD.(8分)
17．解：C、D两地到路段AB的距离相等．(2分)理由如下：由题意可知AC＝BD.∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠AEC∠AEC＝∠BFD，??
＝∠BFD＝90°.∵AC∥BD，∴∠A＝∠B.(5分)在△AEC和△BFD中，?∠A＝∠B，∴△AEC≌△BFD(AAS)，∴CE??AC＝BD，＝DF，∴C、D两地到路段AB的距离相等．(8分)
18．证明：过点E作EH⊥CD.(2分)∵CE平分∠DCB，∠CBE＝90°，∴BE＝EH.∵点E是线段AB的中点，∴AE＝BE，∴AE＝EH.(5分)又∵∠DAB＝90°，∴DE平分∠FDC.(8分)
19．解：如图，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA.(2分)∵点O是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，∴OE＝
OD，OF＝OD，即OE＝OF＝OD＝2，(5分)∴S△ABC＝S△ABO＋S△BCO＋S△ACO＝AB·OE＋BC·OD＋AC·OF＝×2×(AB＋BC1
＋AC)＝×2×12＝12.(10分)
2
12121212
AB＝AD，??
20．(1)证明：由作图步骤可得AB＝AD，BC＝DC.在△ABC与△ADC中，?BC＝DC，∴△ABC≌△ADC(SSS)．(4分)
??AC＝AC，
(2)解：BD⊥AC.(5分)理由如下：由(1)知△ABC≌△ADC，∴∠BAC＝∠DAC.(6分)在△ABE与△ADE中，
AB＝AD，??
?∠BAE＝∠DAE，∴△ABE≌△ADE(SAS)，∴∠AEB＝∠AED.(8分)又∵∠AEB＋∠AED＝180°，∴∠AEB＝90°，??AE＝AE，
∴BD⊥AC.(10分)
21．解：第二种情况：C(3分) 解析：由题意可知满足条件的点D有两个(如图②)，所以△ABC和△DEF不一定全等．故选C.
第三种情况：补全图形如图③所示．(6分)
证明：∵∠ABC＝∠DEF，∴∠CBM＝∠FEN.∵CM⊥AB，FN⊥DE，∴∠CMB＝∠FNE＝90°.在△CBM和△FEN中，∠CMB＝∠FNE，????CM＝FN，
?∠CBM＝∠FEN，∴△CBM≌△FEN(AAS)，∴CM＝FN.在Rt△AMC和Rt△DNF中，∴Rt△AMC≌Rt△DNF(HL)，?
?AC＝DF，???BC＝EF，
∠A＝∠D，??
∴∠A＝∠D.在△ABC和△DEF中，?∠ABC＝∠DEF，∴△ABC≌△DEF(AAS)．(12分)
??BC＝EF，
22．解：(1)PC＝BC－PB＝6－2t.(3分)
(2)△BPD与△CQP全等．(4分)理由如下：∵t＝1，∴PB＝CQ＝2，∴PC＝BC－PB＝6－2＝4.∵AB＝8，点D为
BP＝CQ，??
AB的中点，∴BD＝AD＝4，∴PC＝BD.在△BPD与△CQP中，?∠B＝∠C，∴△BPD≌△CQP(SAS)．(8分)
??BD＝CP，
(3)∵点P、Q的运动速度不相等，∴BP≠CQ.又∵△BPD与△CQP全等，∠B＝∠C，∴BP＝PC，BD＝CQ，∴2t＝38
6－2t，at＝4，解得t＝，a＝.(12分)
23
23．(1)解：EF＝BE＋DF.(3分)
(2)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝∠BAD＝90°，∴∠ADG＝180°－∠ADC＝90°＝
AB＝AD，??
∠B.在△ABE和△ADG中，∴∠BAE＝∠DAG.∵∠EAF＝45°，∴∠DAF＋∠BAE＝∠BAD?∠B＝∠ADG，∴△ABE≌△ADG，
??BE＝DG，
－∠EAF＝90°－45°＝45°，∴∠DAF＋∠DAG＝45°，即∠GAF＝45°，∴∠GAF＝∠EAF.(6分)在△GAF和△EAFAG＝AE，??
中，?∠GAF＝∠EAF，∴△AFG≌△AFE(SAS)，∴GF＝EF.∵GF＝DG＋FD＝BE＋FD，∴EF＝BE＋FD.(9分)
??AF＝AF，
(3)解：∠BAD＝2∠EAF(11分) 理由如下：如图，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM.∵∠ABC＋∠D＝180°，
AB＝AD，??∠ABC＋∠ABM＝180°，∴∠D＝∠ABM.在△ABM和△ADF中，∴AF＝AM，∠DAF?∠ABM＝∠D，∴△ABM≌△ADF(SAS)，
??BM＝DF，
＝∠BAM.∵∠BAD＝2∠EAF，∴∠DAF＋∠BAE＝∠EAF，∴∠BAE＋∠BAM＝∠EAM＝∠EAF.在△FAE和△MAE中，
AE＝AE，??
?∠EAF＝∠EAM，∴△FAE≌△MAE(SAS)，∴EF＝EM.∵EM＝BE＋BM＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF.(14分) ??AF＝AM，
2024-2024年度人教版初二数学上册第第十二章检测题及答案
