2014年北约自主招生数学试题
1.圆心角为60的扇形面积为6?,求它围成的圆锥的表面积.
1.【解】设扇形的半径为r,则由6?? 于是扇形的弧长为l?1?2?r,得r?6. 23?6?2?,其即为圆锥的底面周长,于是圆锥的底面半径为1, 3 所以底面面积为??12??,也所以圆锥的表面积为S?6????7?.
2.将10个人分成3组,一组4人,两组各3人,有多少种分法.
3C10C73C44?2100种. 2.【解】由题知所有分组方法有N?A22?
3.如果f(x)?lg(x2?2ax?a)的值域为R,求a的取值范围.
3.【解】由题意u?x2?2ax?a的值域包含区间(0,??),则u?x2?2ax?a与x有交点, 故??(?2a)2?4a?0,解得a?1或a?0. 4.设f(
a?2bf(a)?2f(b),且f(1)?1,f(4)?7,求f(2014). )?334?2?1f(4)?2f(1))??3; 331?2?4f(?1)f2(4)f(n)?2n?1,n?N*, f(3)?f(?)?,由数学归纳法可推导得533 所以f(2014)?4027.
4.【解】由f(1)?1,f(4)?7得f(2)?f(5.已知x?y??1且x,y都是负数,求xy?1的最值. xy
5.【解】由x?0,y?0可知,x?y??1?|x?y|?1?|x|?|y|?1,
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(|x|?|y|)211 所以|xy|?|x|?|y|??,即xy?(0,],
444111 令t?xy?(0,],则易知函数y?t?在(0,1]上递减,所以其在(0,]上递减,
4t4 于是xy?
6.已知f(x)?arctan1117有最小值4??,无最大值. xy442?2x11?c在(?,)上是奇函数,求c. 1?4x44
6.【解】奇函数f(0)?0,故c??arctan2.
7.证明tan3是无理数.
7.【证明】由三角公式tan2??2tan?tan??tan?, ,tan(???)?1?tan2?1?tan??tan? 若tan3是有理数,则tan6,tan12,tan24为有理数,再由tan6和tan24可得tan30为有理数,这与tan30?3为无理数矛盾!因此,tan3是无理数. 3
8.已知实系数二次函数f(x)与g(x)满足3f(x)?g(x)?0和f(x)?g(x)?0都有双重实根,如果已知f(x)?0有两个不同的实根,求证g(x)?0没有实根.
8.【证】由题可设3f(x)?g(x)?a1(x?b1)2,f(x)?g(x)?a2(x?b2)2,其中a1?0,a2?0, 则f(x)?[a1(x?b2)2?a2(x?b2)2],g(x)?[a1(x?b1)2?3a2(x?b2)2], 由f(x)?0有两个不同的实根,则必有a1,a2异号,且a1?a2?0, 此时f(x)?[(a1?a2)x2?2(a1b1?a2b2)x?a1b12?a2b22],
即??4(a1b1?a2b2)2?4(a1?a2)(a1b12?a2b22)??4a1a2(b1?b2)2?0,所以b1?b2, 故此时观察g(x)?[a1(x?b1)2?3a2(x?b2)2]可知,
14141414a1,?3a2同号,且a1?3a2?0,b1?b2,故g(x)?0恒成立,即证明g(x)?0没有实根.
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716,a13是等差数列,M?{ai?aj?ak|1?i?j?k?13},问:0,,是否可以同时在
23M中,并证明你的结论.
7169.【解】不可以同时在M中,下面给予证明.假设0,,同时在M中,
239.a1,a2,设ak?a?kd(1?k?13,k?N*),其中d为公差,则
M?{3a?(i?j?k)d|1?i?j?k?13}?{3a?md|6?m?36,m?N*}
??3a?xd?0,7?(y?x)d?,??7??2于是存在正整数6?x,y,z?36,使得?3a?yd?,从而?
2??(z?x)d?1616??3?3a?zd??3?y?x21?,由于21,32互质,且y?x,z?x为整数,则有|y?x|?21,|z?x|?32, z?x32716 但|z?x|?36?6?30,矛盾!假设错误,即证明0,,不可以同时在M中.
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也所以10.已知x1,x2,
10.【证】(一法:数学归纳法)①当n?1时,左边2?x1?2?1?2?1?右边,不等式成立; ②假设n?k(k?1,k?N*)时,不等式(2?x1)(2?x2) 那么当n?k?1时,则x1x2,xn?R?,且x1x2xn?1,求证:(2?x1)(2?x2)(2?xn)?(2?1)n.
(2?xk)?(2?1)k成立.
xkxk?1?1,由于这k?1个正数不能同时都大于1,也不能同时都
小于1,因此存在两个数,其中一个不大于1,另一个不小于1,不妨设xk?1,0?xk?1?1, 从而(xk?1)(xk?1?1)?0?xk?xk?1?1?xkxk?1,所以
2x2 (2?x1)(?2x2 ?(2?x1)(?2x2 ?(2?x1)(?)(?x2k)?[2)k)?(xk?21 x2?(kx??11)k?k1x)x ]1)(?x2kxk?)?(?2k?11)?(2?1)?(2?1k) (2 其中推导上式时利用了x1x2
xk?1(xkxk?1)?1及n?k时的假设,故n?k?1时不等式也成
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“北约”自主招生数学试题及答案(2010-2014)
