∴∠DOG＝60°＝∠AOD ∴OD平分∠AOG （2）设∠AOD＝β
∵射线OD是∠AOG的三等分线
∴∠AOD＝2∠DOG，或∠DOG＝2∠AOD 若∠AOD＝2∠DOG ∴∠DOG＝β
∵∠BOC＝∠AOD，OF平分∠BOC ∴∠BOF＝β ∵OF⊥OG ∴∠BOG＝90﹣α
∵∠BOG+∠DOG+∠AOD＝180° ∴β+90﹣β+β＝180° ∴∠β＝90° ∴∠BOF＝45° ∵OF∥AE
∴∠A＝∠BOF＝45° 即α＝45°
若∠DOG＝2∠AOD＝2β
∵∠BOC＝∠AOD，OF平分∠BOC ∴∠BOF＝β ∵OF⊥OG ∴∠BOG＝90﹣α
∵∠BOG+∠DOG+∠AOD＝180° ∴2β+90﹣β+β＝180° ∴∠β＝36° ∴∠BOF＝18°
∴OF∥AE
∴∠A＝∠BOF＝18° ∴α＝18°
综上所述α为18°或45°
9．解：（1）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB， ∴EM∥AB∥FN，
∴∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN， 又∵AB∥CD，AB∥FN， ∴CD∥FN，
∴∠D+∠DFN＝180°， 又∵∠D＝110°， ∴∠DFN＝70°，
∴∠BEF＝∠MEF+20°，∠EFD＝∠EFN+70°， ∴∠EFD＝∠MEF+70°
∴∠EFD＝∠BEF+50°＝100°； 故答案为：100°；
（2）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB， ∴EM∥AB∥FN，
∴∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN， 又∵AB∥CD，AB∥FN， ∴CD∥FN，
∴∠D+∠DFN＝180°， 又∵∠D＝110°， ∴∠DFN＝70°，
∴∠BEF＝∠MEF+20°，∠EFD＝∠EFN+70°， ∴∠EFD＝∠MEF+70°， ∴∠EFD＝∠BEF+50°；
（3）如图2，过点F作FH∥EP，
由（2）知，∠EFD＝∠BEF+50°， 设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝（2x+50）°， ∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，
∴∠PEF＝∠BEF＝x°，∠EFG＝∠EFD＝（x+25）°， ∵FH∥EP，
∴∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG， ∵∠HFG＝∠EFG﹣∠EFH＝25°， ∴∠P＝25°．
10．解：（1）如图1，∵AB∥CD， ∴∠1＝∠EGD， 又∵∠2＝2∠1， ∴∠2＝2∠EGD， 又∵∠FGE＝60°，
∴∠EGD＝（180°﹣60°）＝40°， ∴∠1＝40°；
（2）如图2，∵AB∥CD， ∴∠AEG+∠CGE＝180°，
即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC＝180°， 又∵∠FEG+∠EGF＝90°， ∴∠AEF+∠GFC＝90°；
（3）如图3，∵AB∥CD， ∴∠AEF+∠CFE＝180°，
即∠AEG+∠FEG+∠EFG+∠GFC＝180°，
又∵∠GFE＝90°，∠GEF＝30°，∠AEG＝α， ∴∠GFC＝180°﹣90°﹣30°﹣α＝60°﹣α． 故答案为：60°﹣α．
11．解：（1）如图1，∵AB∥CD，
∴∠END＝∠EFB， ∵∠EFB是△MEF的外角，
∴∠E＝∠EFB﹣∠BME＝∠END﹣∠BME， 故答案为：∠E＝∠END﹣∠BME；
（2）如图2，∵AB∥CD， ∴∠CNP＝∠NGB，
∵∠NPM是△GPM的外角，
∴∠NPM＝∠NGB+∠PMA＝∠CNP+∠PMA， ∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE，
∴∠CNE＝2∠CNP，∠FME＝2∠BMQ＝2∠PMA， ∵AB∥CD，
∴∠MFE＝∠CNE＝2∠CNP，
∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE＝180°， ∴∠E+2∠PMA+2∠CNP＝180°， 即∠E+2（∠PMA+∠CNP）＝180°， ∴∠E+2∠NPM＝180°；
（3）如图3，延长AB交DE于G，延长CD交BF于H， ∵AB∥CD， ∴∠CDG＝∠AGE， ∵∠ABE是△BEG的外角，
∴∠E＝∠ABE﹣∠AGE＝∠ABE﹣∠CDE，①
∵∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE， ∴∠ABM＝
∠ABE＝∠CHB，∠CDN＝
∠CDE＝∠FDH，
∵∠CHB是△DFH的外角， ∴∠F＝∠CHB﹣∠FDH＝由①代入②，可得∠F＝即故答案为：
． ．
∠ABE﹣∠E，
∠CDE＝
（∠ABE﹣∠CDE），②
12．解：（1）如图，延长DE交AB于H， ∵AB∥CD，
∴∠D＝∠AHE＝40°， ∵∠AED是△AEH的外角，
∴∠AED＝∠A+∠AHE＝30°+40°＝70°， 故答案为：70；
（2）∠EAF＝∠AED+∠EDG． 理由：∵AB∥CD，
[精选]2020年中考数学一轮复习培优训练：《相交线与平行线》
