4.4相似三角形
[过关演练](40分钟90分)
1.已知,那么的值为 (B)
A. B. C. D.
【解析】因为,设a=2k,则b=3k,则原式=.
2.若△ABC∽△DEF,相似比为3∶2,则对应高的比为 (A) A.3∶2 B.3∶5 C.9∶4 D.4∶9
【解析】因为△ABC∽△DEF,根据相似三角形的性质“相似三角形对应高之比等于相似比”可得对应高的比为3∶2.
3.如图,AD∥BE∥CF,直线l1,l2与这三条平行线分别交于点A,B,C和点D,E,F.已知AB=1,BC=3,DE=2,则EF的长为 (C)
A.4
B.5
C.6
D.8
【解析】∵AD∥BE∥CF,∴,∵AB=1,BC=3,DE=2,∴,解得EF=6.
4.如图,以点O为位似中心,将△ABC放大得到△DEF.若AD=OA,则△ABC与△DEF的面积之比为 (B) A.1∶2 B.1∶4 C.1∶5 D.1∶6
【解析】∵以点O为位似中心,将△ABC放大得到△DEF,AD=OA,∴OA∶OD=1∶2,∴△ABC与△DEF的面积之比为1∶4.
5.(2018·哈尔滨)如图,在△ABC中,点D在BC边上,连接AD,点G在线段AD上,GE∥BD,且交AB于点E,GF∥AC,且交CD于点F,则下列结论一定正确的是 (D)
A. B.
C. D.
【解析】∵GE∥BD,GF∥AC,∴△AEG∽△ABD,△DFG∽△DCA,∴,∴.
6.(2018·浙江绍兴)学校门口的栏杆如图所示,栏杆从水平位置BD绕点O旋转到AC位置,已知AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B,D,AO=4 m,AB=1.6 m,CO=1 m,则栏杆C端应下降的垂直距离CD为 (C)
A.0.2 m B.0.3 m C.0.4 m D.0.5 m
【解析】∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠ABO=∠CDO=90°,又∵∠AOB=∠COD,∴△ABO∽△CDO,则
,∵AO=4 m,AB=1.6 m,CO=1 m,∴,解得CD=0.4 m.
7.将三角形纸片ABC按如图所示的方式折叠,使点C落在AB边上的点D,折痕为EF.已知AB=AC=3,BC=4,若以点B,D,F为顶点的三角形与△ABC相似,那么CF的长度是 (D)
A.2 B.或2
C. D.或2
【解析】∵△ABC沿EF折叠,点C和点D重合,∴FD=CF,设CF=x,则BF=4-x,以点B,D,F为顶
点的三角形与△ABC相似,分两种情况:①若∠BFD=∠C,则△BDF∽△BAC,,即
,解得x=;②若∠BFD=∠A,则△BDF∽△BCA,=1,即=1,解得x=2.综上,CF的长为或2.
8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,E,F为线段AB上两动点,且∠ECF=45°,过点E,F分别作BC,AC的垂线相交于点M,垂足分别为H,G.现有以下结论:①AB=;②当点E与点B重合时,MH=;③AF+BE=EF;④MG·MH=.其中正确的是 (C) A.①②③
B.①③④
C.①②④
D.①②③④
,故①正确;如图1,当点
【解析】由题意知,△ABC是等腰直角三角形,∴AB=E与点B重合时,点H与点B重合,∴MB⊥BC,∠MBC=90°,∵MG⊥AC,∴∠MGC=90°=∠ACB=∠MBC,∴MG∥BC,四边形MGCB是矩形,∴MH=MB=CG,∵∠ECF=45°=∠ABC,∠A=∠ACF=45°,∴CF=AF=BF,∴FG是△ACB的中位线,∴MH=GC=AC=,故②正确;如图2所示,∵AC=BC,∠ACB=90°,∴∠A=∠5=45°,将△ACF绕点C顺时针旋转90°至△BCD,则CF=CD,∠1=∠4,∠6=∠A=45°,BD=AF,∵∠2=45°,∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°,∴∠DCE=∠2,在△ECF和△ECD中,
∴△ECF≌△ECD(SAS),∴EF=DE.∵∠5=45°,∴∠EBD=90°,∴DE2=BD2+BE2,
即EF=AF+BE,故③错误;如图2,∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE,又∵∠A=∠
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5=45°,∴△ACE∽△BFC,∴,∴AE·BF=AC·BC=1,由题意知四边形CHMG是矩形,∴MG∥BC,MH=CG,MH∥AC,∴,即,∴MG=AE,MH=BF,
∴MG·MH=AE×BF=AE·BF=AC·BC=,故④正确.
9.已知线段a,b,c,其中a=4,c=9,那么a和c的比例中项b=6.
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【解析】∵b是a,c的比例中项,∴b=ac,即b=36,∴b=6(负数舍去).
10.如图,在△ABC中,AB≠AC,D,E分别为边AB,AC上的点,AC=3AD,AB=3AE,点F为BC边上一点,添加一个条件本题答案不唯一,如∠A=∠BDF,∠A=∠BFD,∠ADE=∠BFD,∠ADE=∠BDF,DF∥AC,,可以使得△FDB与△ADE相似.(只需写出一个)
【解析】∵AC=3AD,AB=3AE,∴,又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB,∴∠AED=∠B.故要使△FDB与△ADE相似,只需再添加一组对应角相等,或夹角的两边对应成比例即可.
11.如图,在△ABC中,D是AB的中点,点E在BC的延长线上,且BC=CE,连接DE交AC于点F,则AF∶CF=2∶1. 【解析】取DE的中点G,连接CG,∵BC=CE,∴CG∥AB,BD∶CG=2∶1,∵BD=AD,∴AD∶CG=2∶1,又△ADF∽△CGF,∴AF∶CF=2∶1.
12.(2018·山东泰安)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,在“勾股”章中有这样一个问题:“今有邑方二百步,各中开门,出东门十五步有木,问:出南门几步面见木?”
用今天的话说,大意是:如图,四边形DEFG是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城,东门H位于GD的中点,南门K位于ED的中点,出东门15步的A处有一树木,
求出南门多少步恰好看到位于A处的树木(即点D在直线AC上)?请你计算KC的长为 步.
【解析】DH=100,DK=100,AH=15,∵AH∥DK,∴∠CDK=∠A,而∠CKD=∠AHD,∴△CDK∽△DAH,
∴,即,∴CK=.
13.(8分)如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,点E在边BC的延长线上,且OE=OB,连接DE.
(1)求证:DE⊥BE;
(2)如果OE⊥CD,求证:BD·CE=CD·DE.
解:(1)∵OB=OE,∴∠OEB=∠OBE.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD,∴OD=OE, ∴∠OED=∠ODE.
∵在△BED中,∠OEB+∠OBE+∠OED+∠ODE=180°, ∴∠OEB+∠OED=90°,即∠BED=90°,∴DE⊥BE. (2)设OE交CD于点H.
∵OE⊥CD于点H,∴∠CHE=90°,
∴∠CEH+∠HCE=90°,∴∠CDE=∠CEH. ∵∠OEB=∠OBE, ∴∠OBE=∠CDE. 在△CED与△DEB中,∴△CED∽△DEB,
∴,即BD·CE=CD·DE.
14.(10分)已知Rt△ABC中,∠B=90°,AC=20,AB=10,P是边AC上一点(不包括端点A,C),过点P作PE⊥BC于点E,过点E作EF∥AC,交AB于点F.设PC=x,PE=y. (1)求y与x的函数关系式.
【教育资料精选】2019年中考数学一轮复习第二讲空间与图形第四章三角形4-4相似三角形测试
