江苏省启东中学2019-2020学年度第一学期期初考试 高三数学试卷 命题人：龚凯宏
（测试内容：三角、平面向量、复数）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．
1.若复数z满足i?z?1?2i，其中i是虚数单位，则z的虚部为 ▲ .
2.已知点P(tan?,cos?)在第三象限，则角?的终边在第 ▲ 象限．
3.设向量a?(1,0)，b?(?1,m)，若a?(ma?b)，则m= ▲ .
4.已知复数z满足(1?i)z?3?4i（i是虚数单位），则|z|= ▲ .
5．化简：tan17tan13?3(tan17?tan13)? ▲ .
3，则cos2??2sin2?? ▲ . 46.若tan??7.在△ABC中，AB?3，AC?4．若△ABC的面积为33，则BC的长是 ▲ . 8.已知?
?2???0，且cos??52cos(???)?3sin(???)．则的值为 ▲ .
4cos(??)?sin(2???)139.已知函数f(x)?2sin?x(??0)在区间[?,]上的最小值是?2，则?的最小值等于 ▲ .34
??π3???10. 设?为锐角，若cos(??)?，则sin?2???的值为 ▲ .
6512??π
11. 已知函数f(x)＝sin(ωx＋)－cosωx (ω＞0)．若函数f(x)的图象关于直线x＝2π对称，且在区间[－
6ππ
，]上是单调函数，则ω的取值集合为 ▲ . 44
12.设点O在?ABC所在平面内，若OA?2OB?3OC?0，则?OBC与?ABC的面积比为 ▲.
13.正方形ABCD的边长为1，O为正方形ABCD的中心，过中心O的直线与边AB交于点M，与边CD
M?PN的最小值为 ▲ .交于点N，P为平面上一点，满足2OP??OB?(1??)OC，则P
14.如图所示，已知等腰直角三角形ABC中AB=AC?2，半径为2的圆O在三角形外与斜边BC相2切，P为圆上任意一点，且满足AP?xAB?yAC，则x?y的最大值为 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）
??已知函数f(x)?2sin(?x??)(??0，π5)的图像的一部分如图所示，C(,0)是图像 22与x轴的交点，A,B分别是图像的最高点与最低点且AB?5．
（1）求函数y?f(x)的解析式；
（2）求函数g(x)?f(x)?f(x?),x??0,?的最大值．
2?2?
16.（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，设向量a??cos?，sin??，b???sin?，cos??，
c??1，3．
223?1???（1）若a?b?c，求sin(???)的值；
（2）设??5π，0???π，且a//?b?c?，求?的值． 6
17.（本小题满分15分）
已知函数f?x??sin2x?23sinxcosx?sin(x?)sin(x?).
44（1）求f?x?的最小值并写出此时x的取值集合； （2）若x??0,??，求出f?x?的单调减区间；
??（3）若x?x0??????x0??为f?x?的一个零点，求cos2x0的值.
2??4
18.（本小题满分15分）
已知矩形ABCD所在的平面与地面垂直，点A在地面上，设AB?a(a?0)，BC?1，AB与地面成?角（0???记CE?h．
?2），如图所示，CE垂直地面，垂足为E，点B、D到CE的距离分别为h1,h2，
（1）若a?值；
3，求h的最大值，并求此时的?C（2）若h(h1?h2)的最大值为4，求a的值．
h2h1DB
θAE
19.（本小题满分16分）
启东市政府拟在蝶湖建一个旅游观光项目,设计方案如下：如图所示的圆O是圆形湖的边界,沿线段AB,BC,CD,DA建一个观景长廊,其中A,B,C,D是观景长廊的四个出入口且都在圆O上，已知：BC=12百米,AB=8百米,在湖中P处和湖边D处各建一个观景亭,且它们关于直线AC对称,在湖面建一条观景桥APC.观景亭的大小、观景长廊、观景桥的宽度均忽略不计，设?ABC??．
（1）若观景长廊AD＝4百米，CD=AB，求由观景长廊所围成的四边形ABCD内的湖面面积； （2）当??60?时，求三角形区域ADC内的湖面面积的最大值；
（3）若CD=8百米且规划建亭点P在三角形ABC区域内（不包括边界），试判断四边形ABCP内湖面面积是否有最大值？若有，求出最大值，并写出此时?的值；若没有，请说明理由．
江苏省启东中学2020届高三上学期期初考试数学试题
