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2.1.3 推理案例赏析
1.进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的紧密联系.利用合情推理和演绎推理进行简单的推理.(重点、难点)
2.两种推理形式的具体格式.(易混点)
[小组合作型]
归纳推理的应用 观察如图2-1-14所示的“三角数阵”：
图2-1-14
记第n行的第2个数为an(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：
(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________；
(2)依次写出a2、a3、a4、a5； (3)归纳出an＋1与an的关系式.
【精彩点拨】 (1)观察数阵，总结规律：除首末两数外，每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和，得出(1)的结果.
(2)由数阵可直接写出答案.
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(3)写出a3-a2，a4-a3，a5-a4，从而归纳出(3)的结论.
【自主解答】 (1)由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数.
【答案】 6,16,25,25,16,6 (2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11 (3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4， ∴由此归纳：an＋1＝an＋n.
归纳推理的一般步骤
归纳推理的思想过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论.该过程包括两个步骤：
(1)通过观察个别对象发现某些相同性质；
(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).
[再练一题] 1.观察下列各式：
12781011161719202223
＋＝1，＋＋＋＝12，＋＋＋＋＋＝39，…. 333333333333
3n＋13n＋23m-23m-1则当n 3333后结果用m，n表示) 12 【解析】 当n＝0，m＝1时，对应第1个式子＋＝1，此时1＝12-0＝m2-n2； 33781011 当n＝2，m＝4时，对应第2个式子＋＋＋＝12，此时12＝42-22＝m2-n2； 3333161723 当n＝5，m＝8时，对应第3个式子＋＋…＋＝39，此时39＝82-52＝m2-n2. 333 . 教育精选 3n＋13n＋23m-23m-1 由归纳推理可知＋＋…＋＋＝m2-n2. 3333【答案】 m2-n2 类比推理的应用 通过计算可得下列等式： 23-13＝3×12＋3×1＋1； 33-23＝3×22＋3×2＋1； 43-33＝3×32＋3×3＋1； … (n＋1)3-n3＝3×n2＋3×n＋1. 将以上各等式两边分别相加，得 (n＋1)3-13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n， 1 即1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)(2n＋1). 6 2 2 2 2 类比上述求法，请你求出13＋23＋33＋…＋n3的值. 【精彩点拨】 解答本题要抓住各等式两边数的指数相类比. 【自主解答】 ∵24-14＝4×13＋6×12＋4×1＋1， 34-24＝4×23＋6×22＋4×2＋1， 44-34＝4×33＋6×32＋4×3＋1， … … (n＋1)4-n4＝4n3＋6n2＋4n＋1. 将以上各式两边分别相加，得(n＋1)4-14 ＝4×(13＋23＋…＋n3)＋6×(12＋22＋…＋n2)＋4×(1＋2＋…＋n)＋n， ∴13＋23＋…＋n3 1? ＝?n＋14? 4 1-1-6×n6 4 n＋1·2n＋1-4× nn＋1 2 ?1 -n?＝n2(n＋?4 . 教育精选 1)2. 1.解题方法的类比通过对不同题目条件、结论的类比，从而产生解题方法的迁移，这是数学学习中很高的境界，需要学习者熟练地掌握各种题型及相应的解题方法. 2.类比推理的步骤与方法 (1)弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的(细微)差别. (2)把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚. [再练一题] 2.半径为r的圆的面积S(r)＝π·r2，周长C(r)＝2π·r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(π·r2)′＝2π·r①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子②：________；②式可用语言叙述为________. 【导学号：97220015】 4 【解析】 因为半径为R的球的体积V(R)＝πR3， 3表面积S(R)＝4πR2， ?43? 类比(πr)′＝2πr，得?πR?′＝4πR2. ?3? 2 ?43? 因此②式应为：?πR?′＝4πR2. ?3? 且②式用语言叙述为：球的体积函数的导数等于球的表面积函数. ?43? 【答案】 ?πR?′＝4πR2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数 ?3? [探究共研型] . 教育精选 合情推理与演绎推理的综合应用 探究1 我们已经学过了等比数列，你有没有想到是否也有等积数列呢？类比“等比数列”，请你给出“等积数列”的定义. 【提示】 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积. 探究2 若{an}是等积数列，且首项a1＝2，公积为6，试写出{an}的通项公式及前n项和公式. 【提示】 由于{an}是等积数列，且首项a1＝2，公积为6，所以a2＝3，a3 ＝2，a4＝3，a5＝2，a6＝3，…，即{an}的所有奇数项都等于2，所有偶数项都等??2，n为奇数， 于3，因此{an}的通项公式为an＝? ?3，n为偶数.? ? 其前n项和公式S＝?5 ? n5n，n为偶数，2 n-125n-1＋2＝，n为奇数. 2 探究3 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市； 丙说：我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为A，B，C三个城市中的哪一个？ 【提示】 由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A. 如图2-1-17所示，三棱锥A-BCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互 相垂直，O为点A在底面BCD上的射影. .
第2章 2.1.3 推理案例赏析
