省普通高等学校“专升本”选拔 《高等数学》考试大纲（理工类）
总体要求
考生应理解或了解《高等数学》中函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程以及《线性代数》的行列式、矩阵、向量、方程组的基本概念与基本理论；掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的在联系；应具备一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方确地推理证明，准确、简捷地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。
本大纲对容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”、“熟练掌握”三人层次。
考试用时：120分钟
考试围及要求
一 函数、极限和连续 二 一元函数微分学 三 一元函数积分学
（一）不定积分
（理工大学13：理文科—1个选3分；） （理工大学14：理文科—1个选3分；）
（学院13：理科——选择3分、解答两个12分；文科——选择3分、解答一个5分；）
1. 理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的性质，了解原函数的存在定理。
（1） F(x)是f(x)的一个原函数 ?F?(x)?f(x)
F(x)是f(x)的一个原函数 ?（2） 不定积分的基本性质
①
?f(x)dx?F(x)?C
df(x)dx?f(x) ， ② d?f(x)dx?f(x)dx， ?dx③ F?(x)dx?F(x)?C ， ④ d[F(x)]?F(x)?C．
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例1 （学院：理科——选择3分）设secx是f?x?的一个原函数，则 ?f?x?dx?.
2?A、tanx?C B、xtanx?tanx?C C、sec2x?C D、sec2x?tanx?C
例2 （学院：文科——选择3分）1、若f?(x)为连续函数，则
?f?(2x)dx等于.
1（A）f(2x)?C （B） f(x)?C （C）f(2x)?C （D） 2f(2x)?C
2
2. 熟练掌握基本的不定积分公式。 不定积分的基本公式是最基础的，是做一切积分题的前提，必须要能默写（13个+2个）
3. 熟练掌握不定积分第一类换元法，第二类换元积分法（限于三角代换与简单的根式代换）
（1）第一类换元法：
?g(x)dx??f[?(x)]??(x)dx
??f[?(x)]d[?(x)] （① 凑微分）
??f(u)du （② 换元， 可以省略，写到草稿纸上）
?F(u)?C （③ 用积分公式，可以省略，写到草稿纸上）
。 ?F[?(x)]?C （④ 回代还原）
（2）第二类换元法：
主要解决：带有根式的函数的积分：nax?b，二次式
令x??(t)，则dx???(t)dt
?f(x)dx??f[?(t)]??(t)dt??g(t)dt?G(t)?C?G[??1(x)]?C
基本的三角代换：
①含有a2?x2时，令x?asint，从而a2?x2?acost，dx?acostdt． ②含有x2?a2时，令x?atant，从而x2?a2?asect，dx?asectdt．
2③含有x2?a2时，令x?asect，从而x2?a2?atant，dx?asect?tantdt．
4. 掌握不定积分的分部积分法。
主要解决：对数、反三角、五类基本初等函数中的两类相乘的积分。
?f(x)dx??u(x)d[v(x)]
?u(x)?v(x)??v(x)d[u(x)]
DOC文档.
?u(x)?v(x)??v(x)?u?(x)dx
5. 会求简单的有理函数及简单的无理函数的不定积分。 先将被积函数化为：整式+真分式。
再化部分分式：将分式化为多个分式相加减。每一个分式的分母仅为一次式或不可分解的二次式。
例1（理工大学13：理科、文科——选择题1个3分）已知?f(x)dx?F(x)?C，则
?f(3?2x)dx?【 】
(A)F(3?2x)?C (B)?1F(3?2x)?C (C)1F(3?2x)?C (D)2F(3?2x)?C
22例2（理工大学14：理科、文科——选择题1个3分）．若?f(x)dx?x?1?C，则x?2?f(cosx)sinxdx=【 】
（A）
cosx?1cosx?1x?1sinx?1?C （B）??C （C）?C （D）?C
cosx?2cosx?2x?2sinx?2
例3 (1)（学院13：理科——解答题2个12分）求下列积分 ①
?202dx；xedx； ②?（学院13：理科——解答题2个12分） 5x(1?x)?x③ ?x?1dx（学院13：文科——解答题1个5分） x(1)（学院14：理科——解答题1个6分）计算?xtan2xdx
例4 求下列积分
x3x2?3x?5x4?2x2?2dx ； ② ?3dx ； ③?2dx； ① ?22x?1x?2x?x?2x?x?2④
13x?4dx ； ⑤?(x2?1)(x2?x)?2x2?x?5dx
（二）定积分
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1. 理解定积分的概念与几何意义，了解函数可积的条件。
（1） 定义 （2）结论：
① 定积分与积分变量的无关： ②
?baf(x)dx?lim?f(?i)?xi
??0i?1n?baf(x)dx??f(t)dt??f(u)du
aaababb?aaf(x)dx?0，?f(x)dx???f(x)dx， ?dx?b?a，
abbdbf(x)dx?0 ?adx（4）函数可积的两个充分条件
① f(x)在[a,b]上连续?f(x)在[a,b]上可积。
② f(x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点?f(x)在[a,b]上可积。
（5） 定积分的几何意义
① 在[a,b]上f(x)?0? ② 在[a,b]上f(x)?0?
??babaf(x)dx?A； f(x)dx??A；
③ 在[a,b]上f(x)有正有负 ?
?baf(x)dx?A上?A下
④ 由曲线y?f(x)、直线x?a、x?b及x轴围成的图形的面积为：A??ba|f(x)|dx
2. 掌握定积分的基本性质。
性质1 （运算性质） ①
?ba[f(x)?g(x)]dx??baf(x)dx?ca?bag(x)dx； ② ?kf(x)dx?kabcb?baf(x)dx 。
性质2 （可加性）
?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx．
性质3 （可比性）在[a,b]上，f(x)?g(x)?
?baf(x)dx??g(x)dx
ab?baf(x)dx??baf(x)dx．
性质4（估值定理），m(b?a)?及最小值。
?baf(x)dx?M(b?a)．M与m分别是函数f(x)在[a,b]上的最大值
性质5 （定积分中值定理） 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一点?，使得
?ba． f(x)dx?f(?)(b?a) （a???b）
3. 了解变上限定积分是变上限的函数，掌握对变上限定积分求导的方法。
dxd?（x）f(t)dt?f(x)； ② ?f(t)dt?f??(x)????(x) ① ?aadxdxDOC文档.
x）d?（??2????f(t)dt?f?(x)??(x)?f?(x)??③ 2211(x) ??（x）dx1
4. 熟练掌握牛顿—莱布尼兹公式。
函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数?
b?baf(x)dx?F(b)?F(a)
cbac分段函数、带绝对值符号的函数的积分： 可加性?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx
a
5. 掌握定积分的换元法和分部积分法，并会证明一些简单的积分恒等式。 （1）定积分的换元法
令x??(t)，则dx???(t)dt
当x?a时，t??；当x?b时，t??
?
baf(x)dx????f[?(t)]???(t)dt??g(t)dt?G(t)?
???（2）定积分的分部积分法
主要解决：对数、反三角、五类基本初等函数中的两类相乘的积分。
?baf(x)dx??u(x)d?v(x)?
ab?u(x)?v(x)a??v(x)d?u(x)?
bab??u(b)?v(b)?u(a)?v(b)???v(x)?u?(x)dx
ab（3）重要结论
① 奇、偶函数在对称区间上的积分
当f(x)在[?a,a]上为奇函数时，
当f(x)在[?a,a]上为偶函数时，
??a?aa?aTf(x)dx?0；
f(x)dx?2?f(x)dx．
0a② 周期函数的积分 ?③ 正、余弦函数的 [0,??a?Taf(x)dx??f(x)dx
0?2]上的积分
?20f(sinx)dx???20f(cosx)dx
?对 In???20cosxdx??0n20sinnxdx有递推公式：In??n?1In?2 nI1??20(cosx)dx??2； I1??20cos1xdx?1
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专升本资料3(一元函数积分学)
