中小学教育教学资料
第2讲导数及其应用
配套作业
一、选择题
13
1．(2018·成都模拟)已知函数f(x)＝x－3ax＋，若x轴为曲线y＝f(x)的切线，则a的值为()
411A.B．－2231C．－D.44答案 D
解析 f′(x)＝3x－3a，设切点坐标为(x0,0)，则1??x30－3ax0＋＝0，4?
2
?0－3a＝0，?3x2
1x0＝，??2解得?1
a＝??4，
故选D.
12
2．(2018·赣州一模)函数f(x)＝x－ln x的递减区间为()
2A．(－∞，1) B．(0,1)C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)答案 B
解析 f(x)的定义域是(0，＋∞)，
1x
x2－1
，x
f′(x)＝x－＝
令f′(x)＜0，解得0＜x＜1，故函数f(x)在(0,1)上递减．故选B.
ln x
3．(2018·安徽示范高中二模)已知f(x)＝，则()
xA．f(2)＞f(e)＞f(3) B．f(3)＞f(e)＞f(2)C．f(3)＞f(2)＞f(e) D．f(e)＞f(3)＞f(2)答案 D
解析 f(x)的定义域是(0，＋∞)，
1－ln x
因为f′(x)＝，所以x∈(0，e)，f′(x)>0；
x2
x∈(e，＋∞)，f′(x)<0，
故x＝e时，f(x)max＝f(e)，
ln 2ln 8ln 3ln 9
而f(2)＝＝，f(3)＝＝，2636
f(e)>f(3)>f(2)．故选D.
4．(2018·安徽芜湖模拟)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()
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A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)答案 D
解析 ①当x＜－2时，1－x＞0.∵(1－x)f′(x)＞0，∴f′(x)＞0，即f(x)在(－∞，－2)上是增函数．②当－2＜x＜1时，1－x＞0.∵(1－x)f′(x)＜0，∴f′(x)＜0，即f(x)在(－2,1)上是减函数．③当1＜x＜2时，1－x＜0.∵(1－x)f′(x)＞0，∴f′(x)＜0，即f(x)在(1,2)上是减函数．④当x＞2时，1－x＜0.∵(1－x)f′(x)＜0，∴f′(x)＞0，即f(x)在(2，＋∞)上是增函数．综上，f(－2)为极大值，f(2)为极小值．
12
5．(2018·河南八校联考)已知f(x)＝x＋cosx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图象大致为()
4
答案 A
121
解析 因为f(x)＝x＋cosx，所以f′(x)＝x－sinx，这是一个奇函数，图象关于原点对称，故排
42
11π
除B，D，又f′(1)＝－sin1＜－sin＜0，f′(2)＝1－sin2＞0，所以f′(x)的图象大致为A.
2246．已知f(x)＝ax，g(x)＝9x＋3x－1，当x∈[1,2]时，f(x)≥g(x)恒成立，则a的取值范围为()A．a≥11 B．a≤11 4141
C．a≥D．a≤
88答案 A
解析 f(x)≥g(x)恒成立，即ax≥9x＋3x－1.
9311?1?2323
∵x∈[1,2]，∴a≥＋－.令＝t，则当t∈?，1?时，a≥9t＋3t－t.令h(t)＝9t＋3t－t，
xx2x3x?2?
3
2
3
2
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3?1??1?h′(t)＝9＋6t－3t2＝－3(t－1)2＋12.∴h′(t)在?，1?上是增函数．∴h′(t)min＝h′??＝－＋12>0.
?2??2?
4
?1?∴h(t)在?，1?上是增函数．∴a≥h(1)＝11，故选A.?2?
7．(2018·宝鸡二检)已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝4，且f(x)的导函数f′(x)<3，则不等式f(ln x)＞3ln x＋1的解集为()A．(1，＋∞) B．(0，e)C．(0,1) D．(e，＋∞)答案 B
解析 设g(x)＝f(x)－3x－1，则g′(x)＝f′(x)－3.由题意，得g′(x)<0且g(1)＝0，故函数g(x)为单调递减函数．不等式f(ln x)>3ln x＋1可以转化为f(ln x)－3ln x－1>0，即g(ln x)>0＝g(1)，所
??x＞0，以?
?ln x＜1，?
解得0＜x＜e.
二、填空题
8．(2018·陕西一检)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线为l，若l与曲线y＝ax＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.答案 8
1解析 因为y＝x＋ln x，所以y′＝1＋，所以y′x＝1＝2，故曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线方
x程为y＝2x－1，与y＝ax＋(a＋2)x＋1联立，可得ax＋ax＋2＝0，Δ＝a－8a＝0，所以a＝0(舍)或a＝
2
2
2
2
8，所以a＝8.
1?1＋ln x?9．已知函数f(x)＝.若函数f(x)在区间?t，t＋?(t＞0)上不是单调函数，则实数t的取值范2?x?
围为________．1
答案 ＜t＜1
2
ln x
解析 f′(x)＝－(x＞0)，由f′(x)＞0，得0＜x＜1；由f′(x)＜0，得x＞1.所以f(x)在(0,1)
x21??上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．因为函数f(x)在区间?t，t＋?(t＞0)上不是单调函数，所以2??
t＜1，??
?1
t＋＞1，??2
1
解得＜t＜1.
2
10．(2018·广西三市调研)已知函数f(x)＝ax－ln x，当x∈(0，e](e为自然常数)时，函数f(x)的
最小值为3，则a的值为________．答案 e
2
1ax－11?1?解析 易知a＞0，由f′(x)＝a－＝＝0，得x＝，当x∈?0，?时，f′(x)＜0，f(x)单调递xxa?a?11?1??1?减；当x∈?，＋∞?时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，∴f(x)在x＝时取得最小值f??＝1－ln .①当0
aa?a??a?1112
＜≤e时，由1－ln ＝3，得a＝e，符合题意；②当＞e时，x∈(0，e]，f(x)min＝f(e)，即由ae－ln aaa
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4
e＝3，得a＝，舍去．
e三、解答题
12
11．(2018·河北七校联考)已知函数f(x)＝x－(2a＋2)x＋(2a＋1)ln x.
2(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线的斜率小于0，求f(x)的单调区间；
λ?35?(2)若对任意的a∈?，?，函数g(x)＝f(x)－在区间[1,2]上为增函数，求λ的取值范围．x?22?解(1)f′(x)＝x－(2a＋2)＋＝
－2a－
x
－
2a＋1
x
(x>0)，
若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线的斜率小于0，11
则f′(2)＝－a＋<0，即有a>，∴2a＋1>2>1，
22
由f′(x)>0得0 ∴f(x)的单调递增区间为(0,1)，(2a＋1，＋∞)；单调递减区间为(1,2a＋1)．λ (2)∵g(x)＝f(x)－在区间[1,2]上为增函数， x ?35?∴g′(x)≥0对任意的a∈?，?，x∈[1,2]恒成立，?22? 2a＋1λ 而g′(x)＝x－(2a＋2)＋＋≥0， xx2化简得x－(2a＋2)x＋(2a＋1)x＋λ≥0， 3 2 ?35?232 即(2x－2x)a＋x－2x＋x＋λ≥0，其中a∈?，?， ?22? ∵x∈[1,2]，∴2x－2x≤0， 2532 ∴只需(2x－2x)＋x－2x＋x＋λ≥0， 2 2 即x－7x＋6x＋λ≥0对任意x∈[1,2]恒成立．令h(x)＝x－7x＋6x＋λ，x∈[1,2]，则h′(x)＝3x－14x＋6<0在[1,2]上恒成立，∴h(x)＝x－7x＋6x＋λ在闭区间[1,2]上为减函数，则h(x)min＝h(2)＝λ－8. ∴h(x)min＝h(2)＝λ－8≥0，解得λ≥8.1322 12．已知函数f(x)＝－x＋2x＋ax＋(a∈R)． 33 (1)若a＝3，试求函数f(x)的图象在x＝2处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；(2)若函数f(x)在区间[0,2]上的最大值为2，试求实数a的值．解(1)因为a＝3， 1322 所以f(x)＝－x＋2x＋3x＋，33所以f′(x)＝－x＋4x＋3， 2 3 223 2 32 中小学教育教学资料 所以f′(2)＝－2＋2×4＋3＝7.82 因为f(2)＝－＋8＋6＋＝12， 33 所以切线方程为y－12＝7(x－2)，即y＝7x－2. 2 ?2?设直线与坐标轴的交点坐标分别为(0，－2)，?，0?， ?7? 122 所以该直线与坐标轴围成的三角形的面积S＝×2×＝. 277(2)f′(x)＝－x＋4x＋a＝－(x－2)＋a＋4. 若a＋4≤0，a≤－4，则f′(x)≤0在[0,2]上恒成立，所以函数f(x)在[0,2]上单调递减，2 所以f(x)max＝f(0)＝<2，此时a不存在． 3若a≥0，则f′(x)≥0在[0,2]上恒成立，所以函数f(x)在[0,2]上单调递增， 82 所以f(x)max＝f(2)＝－＋8＋2a＋＝2a＋6＝2， 33解得a＝－2， 因为a≥0，所以此时a不存在． 若－4 28 当2a＋6≥，即－≤a<0时，f(x)max＝f(2)＝2a＋6＝2， 33 2 2 ?8?解得a＝－2∈?－，0?，所以a＝－2；?3? 28 当2a＋6<，即－4 f(x)max＝f(0)＝<2， 此时a不存在．综上所述a＝－2. 1 13．(2018·大连模拟)已知函数f(x)＝＋aln x. x (1)若x＝1是f(x)的极值点，试研究函数f(x)的单调性，并求f(x)的极值；(2)若f(x)≥0在(0，e]上恒成立，求实数a的取值范围．1 解(1)函数f(x)＝＋aln x，定义域为(0，＋∞)， x1aax－1 则f′(x)＝－＋＝， x2xx2 若x＝1是f(x)的极值点，则f′(1)＝0，即a＝1.1x－1 ∴f(x)＝＋ln x，f′(x)＝.xx2 令f′(x)>0，则x>1，令f′(x)<0，则x<1，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减， 2 3
2019高考数学二轮复习第二编专题二函数与导数第2讲导数及其应用配套作业文
