15.【答案】
【解析】解：抛物线
（t为
参数，p＞0）的普通方程为：y2=2px焦点为F（，0），如图：过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相交于点E．|CF|=2|AF|，
|CF|=3p，|AB|=|AF|=p，A（p，△ACE的面积为3可得即：
，
）， ，
=S△ACE．
=3
，
解得p=． 故答案为：．
化简参数方程为普通方程，求出F与l的方程，然后求解A的坐标，利用三角形的面积列出方程，求解即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的参数方程的应用，考查分析问题解决问题的能力．
16.【答案】
【解析】解：设
，则上一点
表示函数f（x）=lnx上
之间的距离，
一点P（a，lna）与函数又函数
，
∴
作出示意图如下，
表示焦点为F（0，1），准线为y=-1的抛物线，由抛物线定义可得
的几何意义即为|PQ|+|QQ′|=|PQ|+|QF|-1，
由图观察可知，当点P运动至点P′，且FP′垂直于过点P′的函数f（x）=lnx的切
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线，点Q为线段FP′与函数的交点时，|PQ|+|QF|-1最小，
设P′（x0，y0），∴|PQ|+|QF|-1最小值为故答案为：．
，则，解得
．
，即P′（1，0），
fx）=lnx上一点Plna）观察式子，根号部分表示函数（（a，与函数之间的距离，而
上一点
，利用几何意义可知φ（a，b）几何意义即为
|PQ|+|QQ′|=|PQ|+|QF|-1，作出图形，由图象观察结合导数的几何意义即可求出最小值． 本题考查函数的最值及其几何意义，涉及了两点间的距离公式，抛物线的性质，利用导数求曲线的切线方程等知识点，考查计算能力及转化思想，数形结合思想，属于中档题． 17.【答案】解：（1）当m=1时，f（x）=|x-1|-|x+2|． ∵f（x）≥1，∴
或
或
，
∴x∈?或-2≤x≤-1或x＜-2，∴x≤-1， ∴不等式的解集为{x|x≤-1}．
（2）f（x）=|x-m|-|x+2m|≤|x-m-x-2m|=|3m|=3m（m＞0）， 当且仅当x≤-2m时等号成立，
∵f（x）的最大值为3，∴f（x）max=3m=3， ∴m=1．
【解析】（1）将m=1代入f（x）中，然后根据f（x）≥1，利用零点分段法解不等式即可；
（2）利用绝对值三角不等式求出f（x）的最大值，然后根据f（x）的最大值为3，得到关于m的方程，再求出m．
本题考查了绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．
18.【答案】解：（1）已知曲线C：
转换为直角坐标方程为：x2+（y-1）2=1， 直线l的极坐标方程为
cos（
）=-2．
（α为参数），
转换为直角坐标方程为：x-y+2=0． （2）由（1）得：解得：
或
，
）（2，）．
转换为极坐标为（
【解析】（1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果． （2）利用直线和曲线的位置关系的应用建立二元二次方程组，进一步求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，二元二次方程的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
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19.【答案】解：（1）抽出的青年观众为18人，中年观众12人；
2列联表如下： （2）2×
热衷关心民生大事 不热衷关心民生大事 总计 青年 6 中年 7 总计 13 计算观测值
12 5 17 18 12 30 ，
∴没有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关；
（3）热衷关心民生大事的青年观众有6人，记能胜任才艺表演的四人为A1，A2，A3，A4，
其余两人记为B1，B2，则从中选两人，一共有如下15种情况：
抽出的2人都能胜任才艺表演的有6种情况， 所以所求的概率为
．
【解析】（1）利用分层抽样原理计算抽出的人数即可； （2）填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论； （3）用列举法求基本事件数，计算所求的概率值．
本题考查了分层抽样原理与列举法求古典概型的概率问题，也考查了独立性检验的应用问题，是基础题．
20.【答案】解：（1）由题意可知，椭圆C的右焦点坐标为（c，0）， ∴又∵
，∴a=
，
，解得c=1，
∴b2=a2-c2=1， ∴椭圆C的方程为：（2）设直线l的参数方程为代入椭圆C的方程为：
；
（t为参数），
，得（cos2α+2sin2α）t2+8sinαt+6=0，
，
∴△=64sin2α-24（cos2α+2sin2α）=40sin2α-24≥0，∴设点A，B所对的参数分别为t1，t2， ∴
∴|PA|?|PB|=|t1t2|=∴|PA|?|PB|最大值为．
，
=
≤，
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【解析】（1）右焦点坐标为（c，0），利用右焦点到点P（0，2）的距离为，可求
出c，再结合离心率为可求出a，再利用b2=a2-c2求出b，从而得到椭圆C的方程； （2）设直线l的参数方程为得
（t为参数），代入椭圆C的方程，由△＞0
，再利用直线参数方程的参数的几何意义以及韦达定理，可得
≤，从而求得|PA|?|PB|最大值为．
|PA|?|PB|=|t1t2|=
本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线的参数方程，以及直线参数方程的参数的几何意义，属于中档题．
21.【答案】解：（1）令t=lnx，则y=bt+a, =
=
=1.51，=
=
=15.55，
则===5，a=-=15.55-5×1.51=8．
∴y=5t+8=5lnx+8．
1000=20000元， （2）该IT从业者36岁时的月收入约为（5ln11+8）×
3%+3000×10%+4500×20%+7500×25%=3120， 若按旧个税政策，需缴纳个税为：1500×
3%+9000×10%=990， 若按新个税政策，需缴纳个税为：3000×
3120-990=2130．
∴36岁时每个月少缴交的个人所得税2130元．
【解析】本题主要考查了线性回归方程的求解及数据估计，属于中档题． （1）求出y关于t的线性回归方程，从而得出y关于x的回归方程； （2）估计36岁时的收入和两种政策对应的个税，得出结论．
22.【答案】解：（1）当m=2时，f（x）=（x-1）2+2lnx，其导数
---（1分）
所以f'（1）=2，即切线斜率为2，----------（2分）
又切点为（1，0），所以切线的方程为2x-y-2=0．--------（4分） （2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
因为x1，x2为函数f（x）的两个极值点，
所以x1，x2是方程2x2-2x+m=0的两个不等实根，由根与系数的关系知
，（*）--------（6分）
又已知x1＜x2，所以将（*）式代入得令g（t）=1-t+2tlnt，
，----------（9分）．
，---------（10分） ，
，
，----------（8分）
，
，---（5分）
g'（t）=2lnt+1，令g'（t）=0，解得
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当当所以
时，g'（t）＜0，g（t）在时，g'（t）＞0，g（t）在
，
递减； 递增；
，
，
---------（11分） 即
的取值范围是
．---------（12分）
【解析】（1）（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，即可求解； （2）求得H（x）的导数，知
，得
，令g（t）=1-t+2tlnt，
本题主要考查导数的几何意义，函数的极值点问题，属于中档题．
即可求解．
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2020年山西省长治二中高二（下）期中数学试卷（文科）
