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2020年山西省长治二中高二(下)期中数学试卷(文科)

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15.【答案】

【解析】解:抛物线

(t为

参数,p>0)的普通方程为:y2=2px焦点为F(,0),如图:过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B,设C(p,0),AF与BC相交于点E.|CF|=2|AF|,

|CF|=3p,|AB|=|AF|=p,A(p,△ACE的面积为3可得即:

), ,

=S△ACE.

=3

解得p=. 故答案为:.

化简参数方程为普通方程,求出F与l的方程,然后求解A的坐标,利用三角形的面积列出方程,求解即可.

本题考查抛物线的简单性质的应用,抛物线的参数方程的应用,考查分析问题解决问题的能力.

16.【答案】

【解析】解:设

,则上一点

表示函数f(x)=lnx上

之间的距离,

一点P(a,lna)与函数又函数

作出示意图如下,

表示焦点为F(0,1),准线为y=-1的抛物线,由抛物线定义可得

的几何意义即为|PQ|+|QQ′|=|PQ|+|QF|-1,

由图观察可知,当点P运动至点P′,且FP′垂直于过点P′的函数f(x)=lnx的切

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线,点Q为线段FP′与函数的交点时,|PQ|+|QF|-1最小,

设P′(x0,y0),∴|PQ|+|QF|-1最小值为故答案为:.

,则,解得

,即P′(1,0),

fx)=lnx上一点Plna)观察式子,根号部分表示函数((a,与函数之间的距离,而

上一点

,利用几何意义可知φ(a,b)几何意义即为

|PQ|+|QQ′|=|PQ|+|QF|-1,作出图形,由图象观察结合导数的几何意义即可求出最小值. 本题考查函数的最值及其几何意义,涉及了两点间的距离公式,抛物线的性质,利用导数求曲线的切线方程等知识点,考查计算能力及转化思想,数形结合思想,属于中档题. 17.【答案】解:(1)当m=1时,f(x)=|x-1|-|x+2|. ∵f(x)≥1,∴

∴x∈?或-2≤x≤-1或x<-2,∴x≤-1, ∴不等式的解集为{x|x≤-1}.

(2)f(x)=|x-m|-|x+2m|≤|x-m-x-2m|=|3m|=3m(m>0), 当且仅当x≤-2m时等号成立,

∵f(x)的最大值为3,∴f(x)max=3m=3, ∴m=1.

【解析】(1)将m=1代入f(x)中,然后根据f(x)≥1,利用零点分段法解不等式即可;

(2)利用绝对值三角不等式求出f(x)的最大值,然后根据f(x)的最大值为3,得到关于m的方程,再求出m.

本题考查了绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式,考查了分类讨论思想和转化思想,属中档题.

18.【答案】解:(1)已知曲线C:

转换为直角坐标方程为:x2+(y-1)2=1, 直线l的极坐标方程为

cos(

)=-2.

(α为参数),

转换为直角坐标方程为:x-y+2=0. (2)由(1)得:解得:

)(2,).

转换为极坐标为(

【解析】(1)直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果. (2)利用直线和曲线的位置关系的应用建立二元二次方程组,进一步求出结果. 本题考查的知识要点:参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换,二元二次方程的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.

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19.【答案】解:(1)抽出的青年观众为18人,中年观众12人;

2列联表如下: (2)2×

热衷关心民生大事 不热衷关心民生大事 总计 青年 6 中年 7 总计 13 计算观测值

12 5 17 18 12 30 ,

∴没有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关;

(3)热衷关心民生大事的青年观众有6人,记能胜任才艺表演的四人为A1,A2,A3,A4,

其余两人记为B1,B2,则从中选两人,一共有如下15种情况:

抽出的2人都能胜任才艺表演的有6种情况, 所以所求的概率为

【解析】(1)利用分层抽样原理计算抽出的人数即可; (2)填写列联表,计算观测值,对照临界值得出结论; (3)用列举法求基本事件数,计算所求的概率值.

本题考查了分层抽样原理与列举法求古典概型的概率问题,也考查了独立性检验的应用问题,是基础题.

20.【答案】解:(1)由题意可知,椭圆C的右焦点坐标为(c,0), ∴又∵

,∴a=

,解得c=1,

∴b2=a2-c2=1, ∴椭圆C的方程为:(2)设直线l的参数方程为代入椭圆C的方程为:

(t为参数),

,得(cos2α+2sin2α)t2+8sinαt+6=0,

∴△=64sin2α-24(cos2α+2sin2α)=40sin2α-24≥0,∴设点A,B所对的参数分别为t1,t2, ∴

∴|PA|?|PB|=|t1t2|=∴|PA|?|PB|最大值为.

=

≤,

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【解析】(1)右焦点坐标为(c,0),利用右焦点到点P(0,2)的距离为,可求

出c,再结合离心率为可求出a,再利用b2=a2-c2求出b,从而得到椭圆C的方程; (2)设直线l的参数方程为得

(t为参数),代入椭圆C的方程,由△>0

,再利用直线参数方程的参数的几何意义以及韦达定理,可得

≤,从而求得|PA|?|PB|最大值为.

|PA|?|PB|=|t1t2|=

本题主要考查了椭圆的标准方程,考查了直线的参数方程,以及直线参数方程的参数的几何意义,属于中档题.

21.【答案】解:(1)令t=lnx,则y=bt+a, =

=

=1.51,=

=

=15.55,

则===5,a=-=15.55-5×1.51=8.

∴y=5t+8=5lnx+8.

1000=20000元, (2)该IT从业者36岁时的月收入约为(5ln11+8)×

3%+3000×10%+4500×20%+7500×25%=3120, 若按旧个税政策,需缴纳个税为:1500×

3%+9000×10%=990, 若按新个税政策,需缴纳个税为:3000×

3120-990=2130.

∴36岁时每个月少缴交的个人所得税2130元.

【解析】本题主要考查了线性回归方程的求解及数据估计,属于中档题. (1)求出y关于t的线性回归方程,从而得出y关于x的回归方程; (2)估计36岁时的收入和两种政策对应的个税,得出结论.

22.【答案】解:(1)当m=2时,f(x)=(x-1)2+2lnx,其导数

---(1分)

所以f'(1)=2,即切线斜率为2,----------(2分)

又切点为(1,0),所以切线的方程为2x-y-2=0.--------(4分) (2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),

因为x1,x2为函数f(x)的两个极值点,

所以x1,x2是方程2x2-2x+m=0的两个不等实根,由根与系数的关系知

,(*)--------(6分)

又已知x1<x2,所以将(*)式代入得令g(t)=1-t+2tlnt,

,----------(9分).

,---------(10分) ,

,----------(8分)

,---(5分)

g'(t)=2lnt+1,令g'(t)=0,解得

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当当所以

时,g'(t)<0,g(t)在时,g'(t)>0,g(t)在

递减; 递增;

---------(11分) 即

的取值范围是

.---------(12分)

【解析】(1)(1)求出f(x)的导数,求得切线的斜率,即可求解; (2)求得H(x)的导数,知

,得

,令g(t)=1-t+2tlnt,

本题主要考查导数的几何意义,函数的极值点问题,属于中档题.

即可求解.

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2020年山西省长治二中高二(下)期中数学试卷(文科)

15.【答案】【解析】解:抛物线(t为参数,p>0)的普通方程为:y2=2px焦点为F(,0),如图:过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B,设C(p,0),AF与BC相交于点E.|CF|=2|AF|,|CF|=3p,|AB|=|AF|=p,A(p,△ACE的面积为3可得即:,),,=S
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