-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------
⑵.求出?ABE?30o,根据直角三角形性质求出AE、BE，并根据菱形的面积计算即可求出
答案.
⑴.略证:∵四边形ABCD是矩形
∴?A??C?90o，AB?CD,ABPCD ∴?ABD??CDB
1 ∴?EBD??ABD??FDB
2 ∴EB∥DF ∵DE∥BF
∴四边形BFDE是平行四边形 ⑵.略解：∵四边形BFDE是菱形 八年级数学下册专题复习：几何图形“翻折”和“重叠”例谈
∴BE?ED,?EBD??FBD??ABE
编写： 赵化中学 郑宗平 ∵四边形ABCD是矩形
初中数学试卷
八年级数学下册中几何图形的“翻折”和“重叠”题型主要集中在《勾股定理》、《平行四边
∴AD?BC,?ABC?90o ∴?ABE?30o
∴?A?90o，AB?2
22343?，BF?BE?2AE? ∴AE? 3334383 ?2?33点评：本题考查了平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质以及折叠的相关性质，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力.在本题翻折的性质的运用是本题的一个切入点和突破口，正因为“折叠部分的图形在折叠前后关于折痕成轴对称，两
1图形全等”才有?EBD??ABD??FDB，从而得出⑴问中的EB∥DF、DE∥BF以及⑵问
2中?ABE?30o这两个关键步骤.
例2.如图，已知矩形纸片ABCD中,AB?6，AD?10；点E在边CD上，沿AE折叠后点D恰
AD好落在BC边上. ⑴.求EC的长？
E⑵.求折痕AE的长？ 分析： BFC⑴. 要求EC的长我们可以化在RtVFCE中利用勾股定理来求出，根据题中折叠可知DE?FE,所以CE?FE?CE?DE?6,而CF?BC?BF,BF放在RtVABF利用勾股定理求出，这个需要题中折叠所得到的AF?AD?10来帮忙.
⑵.求折痕AE的长在RtVADE或RtVAFE利用勾股定理求出. 略解：⑴.∵四边形ABCD是矩形
∴DC?AB?6，BC?AD?10
形》两个章节，部分图形的翻折也常出现在平面直角坐标系中与《一次函数》一章知识串联；当然这里要说明的是翻折也蕴含图形自身的某部分的重叠.一个图形自身某部分的“翻折”和几个图形某部分“重叠”题型一直统考和中考的热点题型；下面我精选了一部分这方面典型题进行分析、解答、点评并精选较多的练习题（练习相当于平时两套题的容量）供同学们选练，希望同学们能在训练中从中悟出一些道理，总结破题的思路，同时感受到这两类题型所蕴含的数学魅力.
一、几何图形的“翻折”例析
通常是把某个图形按照给定的条件的沿某一直线翻折，也可以叫折叠；常通过折叠前后图形变换的相互关系来设计命题.折叠的规律是：折叠部分的图形在折叠前后关于折痕成轴对称，两图形全等.折叠图形中在八年级的数学中，以四边形特别是特殊四边形为基础居多，但常用勾股定理来计算，有时也与一次函数的知识相串联构成有一定难度综合题.
例1. （2014中考.邵阳），准备一张矩形纸片ABCD，按如图操作：
将VABE沿BE翻折，使A落在对角线BD上的M点；将VCDF沿DF翻折, 使C落在对角线BD上的N点.
⑴.求证：四边形BFDE是平行四边形；
⑵.若四边形BFDE是菱形，AB?2,求菱形BFDE的面积.
分析：⑴.根据四边形ABCD是矩形和折叠的性质可以得出EB∥DF,DE∥BF,根据平行四边
形的判定推出.
信达
∴故菱形BFDE的面积为：BF?AB? ?B??D??C?90o
-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------
∵矩形纸片ABCD沿AE折叠后点D恰好落在BC边上 ∴AF?AD?10
DE?FE
∴CE?FE?CE?DE?CD?6
在RtVABF中根据勾股定理可知：AB2?BF2?AF2 ∴BF?AF2?AB2?102?62?8 ∴CF?BC?BF?10?8?2
在RtVFCE中根据勾股定理可知：CE2?CF2?EF2；若设CE?x，则EF?6?x
882∴x2?22??6?x? 解得：x? 即EC=
33810⑵.∵EC= DC?6 ∴DE?
33在RtVADE中根据勾股定理可知: DE2?AD2?AE2
100010?10? ∴AE?DE?AD????102??10 393??点评：本题考查了矩形的性质以及折叠的相关性质，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力.在本题翻折的性质的运用是本题的一个切入点和突破口，正因为“折叠部分的图形在折叠前后关于折痕成轴对称，两图形全等”才有AF?AD?10和DE?FE两个关键结论.从而为 在RtVFCE中利用勾股定理来求出CE打下基础.
例3.如图，准备一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF. ⑴.连接EB,求证：四边形EBFD是菱形；
⑵.若AB?3，BC?9,求重叠部分的三角形面积.
分析：⑴.利用翻折变换的性质可以得出?2??3,BE?DE,BF?DF,进
而利用等腰三角形的性质得出三条边相等即可；
⑵.利用勾股定理得出AE的长，再利用三角形面积公式求出即可.
⑴. 略证：连接EB
∵四边形ABCD是矩形 ∴ADPBC ∴?1??2
∵将一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和D重合 ∴?2??3,BE?DE,BF?DF ∴?1??3 ∴ED?DF
∴ED?DF?BE?BF ∴四边形EBFD是菱形.
⑵.略解：设AE?x，则DE?BE?9?x.
222 ∵在RtVABE中，AE2?AB2?BE2
∴x2?32??9?x? 解得：x?4 ∴DE?9?4?5
212点评：本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质以及勾股定理的知识.根据翻折变换的性质得出 BE?DE是本题的一个关键.
C D例4.如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD?BC?1.AB?CD?5.
BC'在矩形ABCD的边AB上取一点M,在CD上取一点N,将纸片沿MN AB'折叠，使MB与DN交于点K,得到VMNK NC∴叠部分的三角形VDEF面积为：SVDEF??3?5?7.5.
K⑴.若?1=70，求?MKN的度数； 1BAM1⑵.VMNK的面积能否小于？若能，求出?1的度数；若不能，请说明理由.
2⑶.如何折叠能够使VMNK的面积最大？请你在备用图探究可能出现的情况，并求最大值. CCDD
AABB
备用图分析：
⑴. 求?MKN的度数有两条途径：一是放在在VMKN中利用三角形的内角和定理求出；一是
oD根据形的对边平行得到?NKM??AMK或?NKM??KMB?180o求出；这两条途径均要抓住纸片沿MN折叠这个重要条件来下得出∠KNM=∠KMN=70°.
1⑵.本问既然涉及到“VMNK的面积能否小于？”，所以首先想到从三角形的面积作为本题的
2切入点；如图在VMNK中过M 点作AE⊥DN，垂足为点E,此时由“平行线间的距离处处相等”可以得到ME=AD=1，由⑴问可以得出VMNK是一个等腰三角形，其MK=NK，由于直角斜边大于直角边，即MK>ME,但特殊情况下K点和E点可能重合，即MK=ME，所以MK=NK≥ME，再由三角形的面积公式得出本问的答案.
⑶.本题又是涉及“VMNK的面积”，我们还是要从三角形的面积切入；要使VMNK的面积最大关键是使使底边NK最大.由于第⑵问得出MK=NK，所以要使NK最大，就是要使MK最大；MK什么时候最大由呢？通过图形条件可知当交点K与B'不重合时，MK?MB',只有K与B'重合，即MK=MB'时，此时B'就落到了DC边上，B'越向左，则MK就越大，即NK就越大；只有当B'运动到与D重合时，MK就最大，此时VMNK的底边NK就最大；根据题中折叠可知MK=MB，所以在VMAK中的边AM?AB?MB?AB?MK?5?MK,利用勾股定理建立方程可求出
（此时MK的值为什么最大呢？这是因为若取大于MK的值会进步推导出MA+MB>5，VMAK的边MK
这里不再细说），也就求出了VMNK的底边NK，面积便可以求出；还有一种情况就是N与C重合，M与A重合，即沿矩形ABCD的对角线AC折叠；在VMDK同样利用勾股定理可以求出M(A)K的最大值，从而得出NK的的最大值.
（巡河车腾讯微博本问视频解析链接：http://v.qq.com/boke/page/p/j/i/p0415ebmdji.html）
信达
-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------
略解： C'B'⑴.∵四边形ABCD是矩形
NCD∴AM∥DN， K1∴∠KNM=∠1 BAM∵∠KMN=∠1 ∴∠KNM=∠KMN ∵∠1=70°
∴∠KNM=∠KMN=70° C'B'∴∠MKN=40° ENC⑵.不能.理由如下： DK过M 点作AE⊥DN，垂足为点E 1BAM则ME=AD=1
由⑴知：∠KNM=∠KMN，∴MK=NK 又∵，ME=AD=1 ∴MK≥1
11又∵SVMNK?NK?ME?
2211即△MNK面积的最小值为，也就是不可能小于；
22⑶.分两种情况：
情况一：将矩形纸片对折，使点B与点D重合，此时点K与点D也重合. 设NK=MK=MD=x，则AM=5-x.根据勾股定理，得：12??5?x??x2
解得：x=2.6，则MD=NK=2.6 (C)1?2.6(K)∴SVMNK?SVMND??1.3 NCD2(B)情况二：将矩形纸片沿对角线对折，此时折痕即为AC. A(B)BM设MK=AK=CK=x，则DK=5-x，同理可得，MK=AK=CK=2.6. 情况一K1?2.6DC(N)SVMNK?SVACK??1.3
2AB因此，△MNK的面积的最大值为1.3. 情况二(M)
点评：本题考查了矩形的性质、勾股定理以及折叠的相关性质.在本题的三个问中均要用到“折叠部分的图形在折叠前后关于折痕成轴对称，两图形全等”来进行转换，特别是⑵⑶问要根据
1折叠的各种情况分析并得出“VMNK的面积能否小于？”以及“折叠能够使VMNK的面积
2最大”的各种情况，是有一定难度的，要综合矩形的性质和折叠的性质；但我们若把M、N看成是运动的，再从折叠的规律入手分析其折叠的“临界点“或者“极端情况”，问题就不那么复杂了，这是一道充分体现“折叠魅力”的题.
2例5、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，OC=4，点E为BC的中点，点N的坐标为（3，0），过点N且平行于y轴的直线MN与EB交于点M.现将纸片折叠，使顶点C落在MN上，并与MN上的点G重合，折痕为EF，点F为折痕与y轴的交点. ⑴.求点G的坐标；
⑵.求折痕EF所在直线的解析式；
⑶.设点P为直线EF上的点，是否存在这样的点P，使得以P、F、G为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
y
分析： MBEC⑴.本题要求G点的坐标关键是求出G点到x轴的垂直距离GN的长度.由于 GN?MN?MG?4?MG,所以问题就转换到在RtVEMG来了，根据折叠 G性质可以得出EG=EC=2，而EM?MC?EC?3?2?1,利用勾股定理便可求 出MG的长度.
F⑵.求折痕EF所在直线的解析式关键抓住求出点E、F的坐标，根据
xNOA⑴问E点的坐标容易得出，关键是求出F点的坐标，这是本问的一个
难点，但由于F点在y轴上，所以求出FO的长度就行了；而FO?CO?CF?4?CF所以问题又转换到RtVECF中利用勾股定理解决问题.由⑴问的ME?1，EG?2可以得出在RtVEMG的
1特殊角度?MGE?30o，从而得出?MEG?60o，再加上折叠后?CEF??FEG?180o?60o
2?60o.在RtVECF中利用勾股定理求出CF便不算难事了.
⑶.本问按理要分别以PF、FG、PG为腰进行讨论，但由于F、G是定点，而P点是直线EF的动点，所以以FG进行讨论就行了；以FG为腰有三种情况，以FG为底有一种情况，一共四种情况，根据⑴⑵问提供的结论和一次函数、正方形以及勾股定理可求出.
略解：
⑴.∵四边形ABCO是正方形 ∴BC=OA=4 ∠BCO=∠B=90° ∵E为CB中点 ∴EB=2
∵MN∥y轴，N（3，0）
∴MN⊥EB且MB=NA=1∴EM?1
根据折叠的性质可知：∠EGF =∠BCO=90° EG=EC=2 ∵直线MN∥y轴 ∴∠EMG=∠B=90°
??在RtVEMG中根据勾股定理有：ME2?MG2?EG2 ∴MG?EG2?ME2?22?12?3 ∴GN?MN?GM?4?3 ∴G（3，4﹣）
⑵.∵∠EMG=∠B=90°，ME?1，EG?2
信达
-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------
∴∠EGM=30° （提示：教材习题有个拓展性的知识点，即“在直角三角形中，若一直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的角为30°”，到初三可以用三角函数求出.） ∴∠MEG=∠FEG=∠CEF=60° ∴∠CFE=30° ∴EF=4
在RtVECF中根据勾股定理有：CE2?CF2?EF2
∴CF?EF2?CE2?42?22?23 ∴OF?CO?CF?4?23 ∴F0，4?23，E?2,4?
设直线EF的解析式：y=kx+b（k≠0）
???2k?b?4?k?3∴? 解得：? ??b?4?23??b?4?23∴折痕EF所在直线解析式：y?3x?4?23 ⑶.P1?23，P21,4?23,P31?3，P1FONACP2yP3EP4MGB??x?????3，7?23,P43，4?23
???
点评：本题是一道综合性较强的解答题，考查了正方形的性质、折叠的规律、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式、直角三角形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、动点问题等，折叠的性质在其中起到牵线搭桥甚至是关键性的作用.
在⑴问中正因为是折叠，才把问题转化到了RtVEMG中利用勾股定理来获得解决；在⑵问中
1正是由于折叠才有?CEF??FEG?180o?60o?60o这个重要结论.在RtVECF中有了特殊
2角，再利用勾股定理求出CF就是水到渠成的事了.
二、几何图形的“重叠”例析
前面所说的翻折也蕴含图形自身的某部分的“重叠”，所以通常是把某个图形按照给定的条件的沿某一直线翻折，也可以叫折叠；还有一种“重叠”是指几个“相对独立”图形主要是两个图形通过一定方式，如：交叉叠放、平移、旋转等使两个图形全部或部分重合；实际上这两类重叠没有严格的界线.几个图形的重叠抓住重合部分的图形特征为突破口，下面我就后一类重叠
D'举例加以说明：
C'
DAH例1.将两张长均为8cm，宽均为2cm的矩形纸条按如图交叉叠放. G⑴.重叠部分是一个什么样的四边形？ BCEF⑵.求重叠部分周长和面积最小值和最大值分别是多少？ A' B'分析：⑴.按交叉叠放方式其重叠部分首先可确定是一个平行四边形，利用面积公式或全等三角
形可以推出其一组邻边相等，所以重叠部分是一个菱形.
（巡河车腾讯微博本问视频解析链接：http://v.qq.com/boke/page/z/7/3/z0415wr8a73.html）
⑵.根据“垂线段最短”，当两张矩形纸条垂直时，其交叉重叠部分的部分边长最短（实际上是个正方形），此时的重叠部分周长和面积有最小值；当两张矩形纸条交叉叠放使其对角线“换位”重合时（见示意图），因为此时重叠部分的对角线最长，其重合部分的边长也就最长，当然此时的重叠部分周长和面积有最大值.
D'略解:⑴.如图，过H点分别作HM?EF,HN?FG,垂足分别是M、N
C' 根据矩形纸条按交叉叠放的方式易证四边形EFGH是平行四边形 DAH ∵SYEFGH?HM?EF?HN?FG GNBC 又矩形纸片的宽度都是2cm,即HM?HN?2cm EMFA' ∴EF?GF
∴重叠部分的四边形EFGH是菱形 B' ⑵. 第一种情况：
根据“垂线段最短”，当两张矩形纸条垂直时，其交叉重叠 部分四边形EFGH 的边长最短，此时又构成了有一个角为直C'D '的菱形是正方形EFGH.
∵矩形纸条宽均为2cm即EF?FG?GH?HE?2cm DGAH∴重叠部分EFGH的周长为：4?2?8?cm? 重叠部分EFGH的面积为：4=16cm2??
2BEFC??A'第二种情况： B'当两张矩形纸条交叉叠放使其对角线“换位”重合时（见示意图），因为此时重叠部分的对角线最长，其重合部分的边长也就最长，当然此时的重叠部分周长和面积有最大值. 过N作NG?DM,垂足为G,则NG?2cm ∵四边形ABCD是矩形
∴?C?90o
在RtVMCD中根据勾股定理有：CM2?CD2?DM2
C'∵四边形BMDN是菱形
D( C' )∴MB?MD NA设MD?x，则MC?BC?MB?8?x
GB( A' )C17172M22∴?8?x??2?x 解得：x? 即MD?
44B'17∴重叠部分BMDN的周长为：4??17?cm?
41717重叠部分BMDN的面积为：DM?NG??2?cm2
42例2.如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB'C'D'，图中的阴影部
CB分的面积为 （ ）
B'??HC'信达
DD'A-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------
A.1-3331 B. C.1- D. 3342
分析：本题关键抓住重叠部分AB'HD是一个轴对称图形，由于正方形ABCD绕点A逆时针 30°到正方形AB'C'D' ，所以?DAD'?30o,则?DAB'?60o,连接AB'HD的对角线后易证旋
11转VAB'H≌VADH,所以?DB'H??DAH??DAB'??60o?30o;在RtVADH的另一
22条直角边DH的长度，进一步求出RtVADH的面积，则重叠部分AB'HD可求出，再由正方 形面积减去叠部分AB'HD即可得到图中的阴影部分的面积.
（巡河车腾讯微博本例视频解析链接：http://v.qq.com/boke/page/u/8/m/u0415t5rb8m.html ）
略解: ∵边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB'C'D' ∴?D??B'??D'AB'?90o AD?AB'?1 ?DAD'?30o ∴?DAB'?60o
∵在RtVAB'H和RtVADH中有?D??B'??90o AD?AB',AH?AH
∴RtVAB'H≌RtVADH (HL)
11 ∴?DB'H??DAH??DAB'??60o?30o
221 ∴DH?AH
2C'CBB'HDD'A含30°锐角的直角三角形后，把问题转化到其中一个直角三角形中问题便解决了.
例3. 已知正方形ABCD和正方形EFGH的边长均为6，若把正方形EFGH的一个顶点E放置在正方形ABCD的中心旋转任意角度，则两个正方形形成一个重叠部分.试求重叠部分四边形OMCN的面积？ DA
O(E)分析：本题重叠部分四边形OMCN是任意旋转形成的，所以不存在是一
N个特殊的四边形，但我们可以把它转化为特殊的图形；由于本题是一个 H正方形的顶点放置在另一个正方形的中心进行的旋转重合，所以应从正
BCM方形的中心入手破题.
连接正方形ABCD的对角线AC、BD，其交点O恰好是正方形的中心; 这时四边形OMCN被其中的一对角线AC分成了两部分，而其中的△OMC FG是四边形OMCN和△OBC的公共部分，而四边形OMCN和△OBC余下
的部分根据正方形性质提供性质可以证明是全等的，也就是重叠部分四边形OMCN的面积可以转化在等腰直角三角形来求.
略解：连接接正方形ABCD的对角线AC、BD，根据正方形的性质可知
其交点为O.
根据正方形的性质容易证明△AOB、△BOC、△COD、△AOD
是全等的等腰直角三角形.
111∴S△BOC=S正方形ABCD=?62=?36=9
444∵四边形EFGH正方形
∴?FEH?90o 即?3??4?90o
由于△AOB、△BOC、△COD、△AOD 是全等的等腰直角三角形.
DA∴OB?OC,?1??2,?BOC?90o ∴?3??5?90o
∴?4??5
∴△OBM≌△OCN(ASA)
∴S△OMC+S△OBM=S△OMC+S△OCN 即S四边形OMCN=S△BOC= 9.
B1在RtVADH中根据勾股定理有：DH2?AD2?AH2 即DH2?12??2DH?
2O(E)53421解得：DH?3 31133∴SVADH?AD?DH??1? ?223633∴重叠部分AB'HD面积为：2SVADH?2? ?63NCHMF∴图中的阴影部分的面积为：S正方形ABCD-2SVADH?12?故选A
33 ?1?33点评：本题的阴影部分是个不规则的图形，直接求比较困难，所以采用S正方形ABCD -
重叠部分AB'HD面积，所以求重叠部分的面积成了本题的关键；重叠部分AB'HD是由正方形旋转30°形成的，它恰好是一个轴对称图形，当我们连结对角线AH把AB'HD分成全等的两个
信达
故重叠部分四边形OMCN的面积为9.
G
点评：本题重点考查了正方形的性质以及旋转变换的规律.本题的叠部分四边形OMCN虽然不是一个特殊的四边形，但利用正方形的性质以及旋转变换的规律，并通过全等三角形转换到特殊的等腰直角三角形中.
课堂选练：
一、选择题部分：
人教数学八年级下册专题复习：几何图形“翻折”和“重叠”例谈
