2020届高考数学二轮复习小题必刷卷(四)导数及其应用文

小题必刷卷(四) 导数及其应用

考查范围:第13讲~第15讲 题组一 刷真题

角度1 导数的运算及几何意义

1.[2018·全国卷Ⅰ] 设函数f(x)=x+(a-1)x+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 ( )

3

2

A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x

2.[2016·山东卷] 若函数y=f(x)的图像上存在两点,使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是 A.y=sinx B.y=lnx C.y=e D.y=x

3.[2016·四川卷] 设直线l1,l2分别是函数f(x)=图像上点P1,P2处的

3

( )

x切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞)

4.[2018·天津卷] 已知函数f(x)=elnx,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(1)的值为 .

5.[2018·全国卷Ⅱ] 曲线y=2lnx在点(1,0)处的切线方程为 .

6.[2017·天津卷] 已知a∈R,设函数f(x)=ax-lnx的图像在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为 .

1

x7.[2016·全国卷Ⅲ] 已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e处的切线方程是 .

-x-1

-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)

8.[2015·全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)=ax+x+1的图像在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则

3

a= .

9.[2015·全国卷Ⅱ] 已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax+(a+2)x+1相切,则

2

a= .

角度2 导数的应用

10.[2017·全国卷Ⅲ] 函数y=1+x+的部分图像大致为 ( )

A B

C D

图X4-1

11.[2017·山东卷] 若函数ef(x)(e=2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是 A.f(x)=2 B.f(x)=x C.f(x)=3 D.f(x)=cosx

12.[2016·四川卷] 已知a为函数f(x)=x-12x的极小值点,则a= ( ) A.-4 C.4 D.2

13.[2018·江苏卷] 若函数f(x)=2x-ax+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为 .

3

23

2

x( )

-x-xB.-2

2

14.[2017·江苏卷] 已知函数f(x)=x-2x+e-,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a)≤0,则实数a的取值范围是 .

题组二 刷模拟

15.[2018·贵州遵义航天中学月考] 曲线y=xlnx在点M(e,e)处的切线方程为 ( )

3x2

A.y=x-e B.y=x+e C.y=2x-e

D.y=2x+e

16.[2018·湖南五市十校联考] 已知函数f(x)=2x-alnx,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+y+1=0垂直,则a= ( ) A.1 B.2 C.-1

D.-2

x17.[2018·大连一模] 若曲线y=e在点P(x0,值范围是

( )

)处的切线在y轴上的截距小于0,则x0的取

A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.(2,+∞) D.

18.[2018·四川雅安4月联考] 已知定义在R上的函数f(x)满足f(3)=16,且f(x)的导函数

f'(x)<4x-1,则不等式f(x)<2x2-x+1的解集为 ( )

A.{x|-3

B.{x|x>-3}

C.{x|x>3} D.{x|x<-3或x>3}

19.[2018·石家庄模拟] 曲线y=e+x的一条切线经过坐标原点,则该切线方程为 ( ) A.y=2ex B.y=ex C.y=3x D.y=2x

20.[2018·安徽安庆二模] 已知函数f(x)=2ef'(e)lnx-(e是自然对数的底数), 则f(x)的极大值为 ( ) A.2e-1 B.- C.1 D.2ln2

3

x-1

21.[2018·重庆巴蜀中学月考] 已知函数f(x)为偶函数,且当x≥0时,f(x)=x+sinx,则关于x的不等式f(x)>f(2x-1)的解集为 A.{x|11 D.x( )

22.[2018·山东德州二模] 函数f(x)在实数集R上连续可导,且2f(x)-f'(x)>0在R上恒成立,则以下不等式一定成立的是 ( ) A.f(1)>3

B.f(1)<

3

C.f(-2)>ef(1) D.f(-2)

23.[2018·郑州三模] 已知函数f(x)=a+x-xlna,若对任意x1,x2∈[0,1],不等式

x2

|f(x1)-f(x2)|≤a-2恒成立,则a的取值范围是

A.[e,+∞) B.[e,+∞) C.[2,e] D.[e,e]

2

2

( )

24.[2018·广东茂名联考] 设曲线y=ax在点P(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则点

2

P(1,a)到直线y=-的距离为 .

25.[2018·广西南宁二模] 若函数f(x)=x-3x-a(a≠0)只有2个零点,则a= . 26.[2018·湖南衡阳三模] 若函数f(x)=x的图像在点(a,a)(a>0且a≠1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为3,则loga

-2

-2

3

2

= .

4

小题必刷卷(四)

1.D [解析] 因为f(x) 为奇函数,所以a-1=0,即a=1,所以f(x)=x+x,所以f'(x)=3x+1.因为f'(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.

2.A [解析] 由函数图像上两点处的切线互相垂直可知,函数在两点处的导数之积为-1.对于A,y'=(sinx)'=cosx,存在x1,x2使cosx1·cosx2=-1.

3.A [解析] 不妨设P1,P2两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),其中0

3

2

知,f'(x)=由于l1,l2分别是点P1,P2处的切线,所以l1的斜率为-,l2的斜

率为.又l1与l2垂直,且0

(0,-1+lnx2),由此可得|AB|=2-lnx1-lnx2=2-ln(x1·x2)=2.联立解

得交点P的横坐标为,故S△PAB=×2×=≤1,当且仅当x1=,即x1=1时,等号

成立.而0

5.2x-y-2=0 [解析] 因为y'=,所以曲线y=2lnx在点(1,0)处的切线斜率为=2,所以切线方程为y-0=2(x-1),即2x-y-2=0.

6.1 [解析]∵f'(x)=a-,∴f'(1)=a-1,又f(1)=a,∴函数f(x)=ax-lnx的图像在点(1,f(1))处的切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1),整理得y=(a-1)x+1,∴切线l在y轴上的截距为1. 7.2x-y=0 [解析] 当x>0时,-x<0,∵当x≤0时,f(x)=e

-x-1

x-x,∴f(-x)=ex-1+x.又

∵f(-x)=f(x),∴当x>0时,f(x)=ex-1+x,f'(x)=ex-1+1,即f'(1)=2,∴曲线在点(1,2)处的切线

方程为y-2=2(x-1),整理得2x-y=0.

8.1 [解析] 因为f'(x)=3ax+1,所以函数在点(1,f(1)),即点(1,2+a)处的切线的斜率

2

k=f'(1)=3a+1.又切线过点(2,7),则经过点(1,2+a),(2,7)的直线的斜率k=3a+1=

,所以

,解得a=1.

5