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考点二 双曲线的综合问题
【典例2】若双曲线E:-y2=1(a>0)的离心率等于双曲线E的右支交于A,B两点,求k的取值范围. 【解析】由
得
,直线y=kx-1与
故双曲线E的方程为x2-y2=1.
设A(x1,y1),B(x2,y2),由
得(1-k2)x2+2kx-2=0.
因为直线与双曲线右支交于A,B两点,
故
解得1 .故k的取值范围为(1,). 1.若将本例中与双曲线E的右支交于A,B两点改为与双曲线E的左右两支分别交于A,B两点,求k的取值范围. 2.若本例中已知条件不变,增加条件|AB|=6且 =m( + ),求k,m的值. 得 ,点C是双曲线上一点, 【解析】1.由 故双曲线E的方程为x2-y2=1. 设A(x1,y1),B(x2,y2),由 得(1-k2)x2+2kx-2=0. 因为直线与双曲线左右两支分别交于A,B两点, 故 解得-1 得 故双曲线E的方程为x2-y2=1. 设A(x1,y1),B(x2,y2),由 得(1-k2)x2+2kx-2=0. x1+x2= ,x1x2= , 所以|AB|=· =2 =6, 整理得28k4-55k2+25=0,所以k2=或k2=. 又1 ,所以k= , 所以x1+x2=4设C(x3,y3),由 ,y1+y2=k(x1+x2)-2=8. =m( + ),得 m,8m). (x3,y3)=m(x1+x2,y1+y2)=(4 因为点C是双曲线上一点,所以80m2-64m2=1, 得m=±.故k= ,m=±. 直线与双曲线的位置关系注意的问题 (1)直线与双曲线的位置关系和直线与椭圆的位置关系有类似的处理方法,但要注意联立后得到的一元二次方程的二次项系数能否为零.
2021版高考理科数学人教大一轮复习考点集训：考点二 8.7 双曲线的综合问题
