2021届高考数学一轮复习 专题16 复数
知识归纳
1.复数的有关概念
内容 复数的 概念 复数 相等 共轭 复数 意义 形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d a＋bi与c＋di共轭?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R) 建立平面直角坐标系来表示复数复平面 备注 若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数 实部与实部、虚部与虚部对应相等 实数的共轭复数是它本身 实轴上的点都表示实数；除了原点的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y外，虚轴上的点都表示纯虚数，各轴叫虚轴 象限内的点都表示虚数 复数 的模 →设OZ对应的复数为z＝a＋bi，则向→量OZ的长度叫做复数z＝a＋bi的模 |z|＝|a＋bi|＝a2＋b2 2．复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即
(1)复数z＝a＋bi
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 3．复数代数形式的四则运算
(1)运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 运算名称 加减法 符号表示 z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i
1Z(a，b)(a，b∈R)． 复平面内的点0□
→
平面向量OZ.
语言叙述 把实部、虚部分别相加减
乘法 z1· z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad按照多项式乘法进行，并把i2换成－＋bc)i a＋biz1a＋bi＝＝z2c＋dic＋dic－di＝c－di1 把分子、分母分别乘以分母的共轭复数，然后分子、分母分别进行乘法运算 除法 ac＋bdbc－ad＋i(c＋di≠0) c2＋d2c2＋d2 (2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1
＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
(3)复数乘法的运算定律
复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.
(4)复数加、减法的几何意义
→→
①复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量OZ1，OZ2不共线，则复数z1＋z2
→→
是OZ1＋OZ2所对应的复数．
→→→
②复数减法的几何意义：复数z1－z2是OZ1－OZ2即Z2Z1所对应的复数． z1|z1|－－
4.模的运算性质：①|z|2＝|z|2＝z·z；②|z1·z2|＝|z1||z2|；③?z?＝|z|. ?2?
2
5.实系数的一元二次方程：
设一元二次方程为ax2?bx?c?0（a、b、c?R且a?0）。
因为a?0，所以原方程可以变形为x2?bcx??。 aab??b?c?配方得，?x??????，即
2a??2a?a?b?b2?4ac?。 ?x???22a4a??b2?4ac2?0??b?4ac?0，此时方程有两个不相等的实数根 （1）若，即24a?b?b2?4ac?bb2?4acx???；
2a2a2a222
b2?4acb2?0??b?4ac?0（2）若，即，此时方程有两个相等的实数根； x??4a22ab2?4ac?0，即??b2?4ac?0，方程没有实数根。 （3）若24a4ac?b2b2?4aci，此时方程有两个不相等的虚数根 因为的平方根是?22a4a?b?4ac?b2i?b4ac?b2x???i。
2a2a2a因此，实系数一元二次方程在复数集中恒（仅）有两解。
特别地，当??b2?4ac?0时，实系数一元二次方程ax2?bx?c?0（a、b、c?R且a?0）在复数集中有一对互相共轭的虚数根
?b4ac?b2x??i。
2a2a注：虚根成对定理
若虚数z是实系数一元n（n?2）次方程
anxn?an?1xn?1?的根，那么z也是这个方程的根。
例题1（2016·上海青浦·高三一模）复数z?的点不可能位于（ ）. A．第一象限 【答案】A 【解析】 解：
z??a1x?a0?0（an?0）
a?i（a?R,i是虚数单位）在复平面上对应1?iB．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
a?i(a?i)(1?i)a?1?(a?1)ia?1a?1????i， 1?i(1?i)(1?i)222?z在复平面上对应的点的坐标为(若a?1?0，则a?1，
a?1a?1,?)， 22???a?1??0．
?z在复平面上对应的点不可能位于第一象限．
故选：A．
例题2（2020·上海闵行·高三二模）关于x的实系数方程x2?4x?5?0和x2?2mx?m?0有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m的取值范围是（ ） A．?5? 【答案】D 【解析】
根据条件分别设四个不同的解所对应的点为ABCD，讨论根的判别式，根据圆的对称性得到相应判断.
解：由已知x2﹣4x+5＝0的解为2?i，设对应的两点分别为A，B， 得A（2，1），B（2，﹣1），
设x2+2mx+m＝0的解所对应的两点分别为C，D，记为C（x1，y1），D（x2，y2）， （1）当△＜0，即0＜m＜1时，x2?2mx?m?0的根为共轭复数，必有C、D关于x轴对称，又因为A、B关于x轴对称，且显然四点共圆；
（2）当△＞0，即m＞1或m＜0时，此时C（x1，0），D（x2，0），且故此圆的圆心为（﹣m，0）， 半径r?x1?x2＝﹣m， 2B．??1? C．?0,1? D．?0,1???1?
x1?x22??x1?x2?22?4x1x2??2m?2?4m2?m2?m，
又圆心O1到A的距离O1A＝(2?m)2?12?m2?m， 解得m＝﹣1，
综上：m∈（0，1）∪{﹣1}. 故选：D.
专题训练
一、填空题
1．（2020·上海松江·期末）已知复数z满足z?1，则z?2i（其中i是虚数单位）的最小值为____________. 【答案】1 【解析】
复数z满足|z|?1(i为虚数单位），设z?cos??isin?，??[0，2?)．利用复数模的计算公式与三角函数求值即可得出． 解：
复数z满足|z|?1(i为虚数单位），
设z?cos??isin?，??[0，2?)． 则|z?2i|?|cos??i(sin??2)|?等号． 故答案为：1．
2．（2020·上海高三其他）若复数z满足________ 【答案】?1 【解析】
根据行列式得到iz?(1?2i)?0，化简得到复数的虚部.
当且仅当sin??1时取cos2??(sin??2)2?5?4sin?1，
i1?2i?0，其中i是虚数单位，则z的虚部为
1zi1?2i1?2i?0即iz?(1?2i)?0,z??2?i，z的虚部为?1
1zi故答案为?1
3．（2020·上海普陀·高三一模）设i是虚数单位，若z?【答案】【解析】 依题意z?1?ai是实数，则实数a? 1?i1 21?i111?1??ai??i?ai???a??i，由于z为实数，故
222?2??1?i??1?i?
专题16 复数(教案)-2021届沪教版高考数学一轮复习(上海专用)
