2021年中考数学热点专题复习：构造一元二次方程巧求代数式的最
值
在数学竞赛中，我们经常会遇到求代数式的最值(最大值或最小值)问题，但被求最值的代数式又不是一般代数式，因而同学们都感到困难，觉的无从下手.对于这类问题，如果我们通过设元构造一元二次方程，或者根据题设条件利用根与系数的关系构造一元二次方程，利用一元二次方程的判别式便能巧妙的获解.
3x2?6x?5例1 当x变化时，分式的最小值是
12x?x?121113x2?6x?5?y.由于x2?x?1?(x?1)2??0. 解 设
12222x?x?121?3x2?6x?5?y(x2?x?1).
212整理，得(3?y)x?(6?y)x?(5?y)?0
21x为实数，???(6?y)2?4(3?y)(5?y)?0.
2整理，得y?10y?24?0，即(y?4)(y?6)?0. 由题设知y?6，所以解得4?y?6
23x2?6x?5故分式的最小值是4.
12x?x?12x2 例2 已知a为常数，且x?a?0，那么分式的最小值是 .
x?ax2?y(y?0)，则有x2?xy?ay?0. 解：设
x?a
x为实数，???(?y)2?4ay?y2?4ay?0.
由于y?0，所以y?4a. ?所求分式的最小值为4a.
例3 设a、b为实数，那么a?ab?b?a?2b的最小值是
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解 设a?ab?b?a?2b?y，将其整理成关于a的二次方程，得 a?(b?1)a?(b?2b?y)?0.
2222a为实数.
22 ???(b?1)?4(b?2b?y)?0.
?4y?3b?6b?1?3(b?1)?4??4,?y??1.
故所求代数式的最小值是－1.
例4 已知x、y、z为实数，且x?y?z?5,xy?yz?zx?3.试求z的最大值与最小值.
解 由x?y?z?5，得y?5?x?z，代入xy?yz?zx?3，得
22x(5?x?z)?(5?x?z)z?zx?3.
将上式整理成关于x的二次方程，得x?(z?5)x?z?5z?3?0.
2 ???(z?5)?4(z?5z?3)?0，即3z?10z?13?0.
2222x为实数，
13. 313 ?z的最大值是，最小值是－1.
3 解之得?1?z? 例5 已知a、b均为实数，且满足a?ab?b?1①,则代数式a?ab?b的最大值与最小值的和 . 解 设a?ab?b?y②.
22 ①+②，得2a?2b?1?y，即a?b?222222221(1?y)③. 21(1?y)2④. 4112222 由③、④可知a、b是二次方程t?(1?y)t?(1?y)?0的两个实数根.
23 ①－②，得2ab?1?y，即ab?22?1?1?222 ?????(1?y)??4?1?(1?y)?(1?y)?(1?y)?0.
?4?2? 整理，得3y?10y?3?0，即(3y?1)(y?3)?0. 解得
221?y?3. 3第 2 页 共 3 页
?代数式a2?ab?b2的最大值是3，最小值是
1. 310 故代数式a2?ab?b2的最大值与最小值的和是.
333 例6 已知p?q?2，其中p、q是实数，则p?q的最大值为 . 解 由p?q?2，得(p?q)(p?q?pq)?2.
2(p?q)?(p?q)?3pq????2.
3322(p?q)3?3pq(p?q)?2.
122(m?)②. 3m1222由①、②知p、q是二次方程t?mt?(m?)?0的两个实数根.
3m222 ???(?m)?4?1?(m?)?0.
m设p?q?m①，代入上式，得，pq?化简整理，得m?8，故m?2，即p?q的最大值为2.
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2021年中考数学热点专题复习：构造一元二次方程巧求代数式的最值
