第二部分 思想方法精析
第四讲 转化与化归思想
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核心知识整合
命题热点突破
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?一、转化与化归思想的含义
?转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用 某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种 数学方法，一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将 难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通 过变换转化为已解决的问题． ?二、转化与化归的常见方法
? 1．直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本 图形问题．
? 2．换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等， 把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题 ．
? 3．数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形 式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．
? 4．等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价问题 ，以达到化归的目的．
? 5．特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证 明特殊化后的问题的结论适合原问题．
? 6．构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易 于解决的问题．
? 7．坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是 转化方法的一个重要途径．
? 8．类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于探求．
? 9．参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的问题进行 解决．
? 10．补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的 结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比 为全集U，通过解决全集U及补集?UA使原问题获得解决， 体现了正难则反的原则．
命题热点突破
命题方向1特殊与一般的转化
(1)在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若 a，b，
4 cosA＋cosC＝_______. 5
c成等差数列，则1＋cosAcosC
[思路探究]看到 求解．
a，b，c成等差数列，可联想到等边三角形举特
＝
[解析]显然△ABC为等边三角形时符合题设条件，所以 1cos60°＋cos60°cos60°＋cos60°1 4
1cos＋ACC ＝ ＝＋ cosA .coscos 1 5
1＋4
3
(2)已知 f(x)＝ x
3＋ 3，则 f(－2018)＋f(－2017)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2019)＝
2019 _______.
[思路探究]看到求 f(－2018)＋f(－2017)＋…＋f(0)＋f(1)＋f(2019)的值，
想到求 f(x)＋f(1－x)的值．
3x＋ 3x 3 3 3
[解析] f(x)＋f(1－x)＝ 1－x 3＋ ＋ 3 3＋ 3＝1 ，
＋3x 3＋ 3＝3x＋ 3＋ ＝3
x x
3
所以 f(0)＋f(1)＝1，f(－2018)＋f(2019)＝1，
所以 f(－2018)＋f(－2017)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2019)＝2019.
?『规律总结』
?化一般为特殊的应用
? (1)常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图 形、特殊角、特殊位置等．
? (2)对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，用特殊值 进行探求，可快捷地得到答案．
? (3)对于填空题，当填空题的结论唯一或题设条件提供的信 息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值 代替，即可得到答案．
1．AB是过抛物线 x2＝4y的焦点的动弦，直线 l1，l2是抛物线两条分别切于 A， B的切线，则 l1，l2的交点的坐标为________. (0，－1)
[解析]找特殊情况，当 1，则 A(－2,1)，B(2,1)，
AB⊥y轴时，AB的方程为
过点 A的切线方程为 y－1＝－(x＋2)，即 x＋y＋1＝0.同理，过点 B的程为 x
－y－1＝0，则 l1，l2的交点为(0，－1)．
2．已知数列{xn}满足 xn＋3＝xn，xn＋2＝|xn＋1－xn|(n∈N*)，若 x1＝1，x2＝a(a≤1， 1346
a≠0)，则数列{xn}的前 2019项和 S2019＝________.
[解析]根据题意，特殊化可得 a≠0)，则 x1
n 3
x
3
＝|x2－x1|＝|a－1|＝1－a(a
＋x2＋x3＝2又因为 ＋ x＝xn，所以 x4＝x1，x5＝x2，x6＝xx3＝2.同理，x7＋x8＋x9＝2，x10＋x11＋x12＝2，…，而 2019＝673×3，则 S2019＝x＋x5＋x6＝x1＋x2＋ 24×673 ＝1346.
命题方向2函数、方程、不等式之间的转化
已知 e为自然对数的底数，若对任意的 x∈[1e，1]，总存在唯一的 y
∈[－1,1]，使得 ln x－x＋1＋a＝y2ey成立，则实数 a的取值范围是( A )
A．[1e，e] C．(2e，＋∞)
B．(2e，e] D．(2e，e＋1e)
[解析]设 ≥0，f(x)是增函
，1]时，f′(x)＝ f(x)＝ln x－x＋1＋a，当 x1－∈x[1ex
数，所以 x∈[1e，1]时，f(x)∈[a－1e，a]；设 g(y)＝y2ey，则 g′(y)＝eyy(y则 g(y)
在[－1，0)单调递减，在[0,1]单调递增，且 g(－1)＝1e 1]，存在唯一的 y∈[－1,1]，使得 f(x)＝g(y)成立，所以[a－1e，a]?[0，e]，解1e≤a≤e. ?『规律总结』 ?函数、方程与不等式相互转化的应用 ? (1)函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问 题需要函数帮助． ? (2)解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于 函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简 ，一般可将不等式关系转化为最值(值域)问题，从而求出 参变量的范围． 已知函数 f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中 f′(x)是 f(x)的导函数．对 2 (－，1) 满足－1≤a≤1的一切 a的值，都有 g(x)<0，则实数 x的取值范围为________. 3 [解析]由题意得 g(x)＝3x2－ax＋3a－5，令 φ(a)＝(3－x)a＋5，－1≤a≤1， 对－1≤a≤1，恒有 g(x)<0，即 φ(a)<0， φ 1 <0， ∴3x2－x－2<0即， 2 －1<0 3x ＋x－8<0 φ 解得－23 2 故 x的取值范围是(－，1)． 3 命题方向3正难则反的转化 若对于任意 t∈[1,2]，函数 g(x)＝x3＋(m2＋2)x2－2x在区间(t,3)上总 不为单调函数，则实数 m的取值范围是( B ) A．(－5，－103 ) C．(－5，－2) B．(－373，－5) D．(－5，＋∞) [解析] g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2， 若 g(x)在区间(t,3)上总为单调函数， 则①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立，或②g′(x)≤0在(t,3)上恒成立．由①得 3x2＋ 即 m＋4≥2x－3x在 x∈(t,3)上(m＋4)x－2≥0， 恒成立， 所以 m＋4≥2t－3t恒成立，又 t∈[1,2]， 则 m＋4≥21－3×1＝－1，即 m≥－5； 由②得 m＋4≤2x－3x在 恒成立， 则 m＋4≤23－9，即37 m≤－ .3 x∈(t,3)上 所以函数 g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的 m的取值范围为－373 ?『规律总结』 ?转化化归思想遵循的原则 ? (1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为我们熟悉的问题． ? (2)简单化原则：将复杂的问题通过变换转化为简单的问题 ． ? (3)直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问题( 如数形结合思想，立体几何向平面几何问题转化)． ? (4)正难则反原则：若问题直接求解困难时，可考虑运用反 证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题． 若抛物线 y＝x2上的所有弦都不能被直线 y＝k(x－3)垂直平分，则 k的取值范围 是( D ) A．(－∞，12] C．(－12，＋∞) B．(－∞，12) D．[－12，＋∞) 2 x2上两点 [解析]设抛物线 y＝ A(x1，x )，B(x2，x22)关1 线 y＝k(x－3)对称， 2 2 x＋x2 x－x22 ＝－1k，所以AB的中点为 P(x0，y0)，则 x1＋x2 ，y0＝ 1 2 x0＝x1＋x2 2 2 2.由题设知 1x －x2 1 2 2 x＋x22 x＋x2 x＋x2 1＝－21k.又 AB的中点 P(x0，y0)在直线 y＝k(x－3)上，所以 2 ＝k( 1 2)＝k( 1 2 －3)＝－6k＋1 ，所以中点 P(－21k，－6k＋1)．由于点 P在 y>x26的区域k＋1 2 2 内，则－ 2 >(－1 )2，整理得(2k＋1)(6k2－2k＋1)<0，解得 k<－21.因此当 －212时，抛物线 y＝ k x2上存在两点关于直线 y＝k(x－3)对称，于是当 k≥－12时，抛物线 y存在两 点关于直线 y＝k(x＝3)对称．所以实数 k的取值范围是[－12，＋∞)．故选 D．
（文理通用）2019届高考数学大二轮复习 - 第2部分 思想方法精析 第4讲 转化与化归思想课件 - 图文
