2017-2024 学年第2学期线性代数答案与评分标准
一. 选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
B D C D A
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）
116. ?1 7. 40 8. (A?I) 9. 10. ?2?a?2
24三、计算题（本大题共3小题，每小题8分，满分24分）
?967?3A?2B?11. 解：?? --------4分
27?1???01?ABT??? --------8分
??78?
x?a?b?cbx?bb11bbccx?cccx?c12. 解：原式?x?a?b?cx?a?b?c --------2分
?(x?a?b?c)1x?b --------4分
100?(x?a?b?c)0x0 --------6分
00x?(x?a?b?c)x2 --------8分
??1?13. 解：(A,I)??1?1???10? ?0?1r3?r2??000?110000?111100???1?r2?r1?010??0r?r31?001???000?r1?(?1)?10??10?r2?(?1)?01?11??r3?(?1)?000?110000?1?1?1100??110?---3分 101??00???10?---6分 ?1?1???121?20???10???1 故A???1?10? -------8分
??2?1?1???四、解答题（本大题共5小题，满分41分）
?3120??1001/2?????14. 解：A??1?1?12?:?010?3/2? --------4分
?1354??0010?????第 1 页 共 2 页
因此向量组的秩R(?1,?2,?3,?4)?3 --------6分 向量组的一个极大无关组为?1,?2,?3 --------8分
13?4??1??2 --------9分
22
0??12?1?2??1? 15. 解：(A,b)??0?515?0000a?1???因此，当a?1时，方程组有解. --------3分 对应齐次方程组的基础解系为
T?31??1=?,,1,0?，?2=?0,1,0,1? --------6分
?55?TAx?b的一个特解为?2,?1,0,0? --------8分 ??5?5?因此原方程组的通解为
1T?2??31?x??,?,0,0??k1?,,1,0??k2?0,1,0,1? --------10分
5?5??55?
TTT16. 解：（1）????42?(?1)2?42?(?14)2?229 --------2分 （2）[?,?]?6?2?(?2)?(?1)?2?(?2)?(?10)?4??30 --------4分 2（3） ??? --------6分
3?101???17. 解：（1）二次型对应的矩阵为A??020? --------2分
?101???2（2）特征多项式为?I?A??(??2)，从而特征值为
?1??2?2,?3?0 --------5分
22（3）二次型的标准型为f?2y1?2y2 --------7分
（4）正惯性指标为2 --------9分
18. 证：由于?1,?2LL?n?r为对应齐次线性方程组AX?0的基础解系， 因此?1,?2LL?n?r线性无关。 --------2分 反证：设?1,?2LL?n?r,?线性相关，则?可由?1,?2LL?n?r线性表示， 即：???1?1????r?r --------4分 因为齐次线性方程组解的线性组合还是齐次线性方程组解，故?必是AX?0的解。这与已知条件?为AX?b?b?0?的一个解相矛盾。
由上可知，?1,?2LL?n?r,?线性无关。 --------7分
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