1.1.1 变化率问题1.1.2 导数的概念
[学习目标] 1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念.2.掌握函数平均变化率的求法.3.掌握导数的概念，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数.
知识点一 函数的平均变化率 1.平均变化率的概念
设函数y＝f(x)，x1，x2是其定义域内不同的两个点，那么函数的变化率可用式子
f?x2?－f?x1?
表示，我们把这个式子称x2－x1
为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率，习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个Δy
“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1).于是，平均变化率可以表示为.
Δx2.求平均变化率
求函数y＝f(x)在[x1，x2]上平均变化率的步骤如下： (1)求自变量的增量Δx＝x2－x1； (2)求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；
Δyf?x2?－f?x1?f?x1＋Δx?－f?x1?
(3)求平均变化率＝＝.
ΔxΔxx2－x1思考 (1)如何正确理解Δx，Δy? (2)平均变化率的几何意义是什么？
答案 (1)Δx是一个整体符号，而不是Δ与x相乘，其值可取正值、负值，但Δx≠0；Δy也是一个整体符号，若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)，而不是Δy＝f(x2)－f(x1)，Δy可为正数、负数，亦可取零. (2)如图所示：
y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均Δy?变化率的“视觉化”，??Δx?越大，曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上越“陡峭”，反之亦然.
平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率，若函数y＝f(x)图象上有两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，则
f?x2?－f?x1?
＝kAB.
x2－x1
知识点二 瞬时速度与瞬时变化率
把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s＝s(t)描述，设Δt为时间改变量，在t0＋Δt这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)，那么位移改变量Δs与时间改变量Δt的比就是这段时间内物体的平均速度v，即v＝
Δss?t0＋Δt?－s?t0?＝. ΔtΔt
物理学里，我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度，即t0时刻的瞬时速度，用v表示，物体在t0时s?t0＋Δt?－s?t0?
刻的瞬时速度v就是运动物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均变化率在Δt→0时的极限，即v＝Δlim t→0Δts?t0＋Δt?－s?t0?Δs＝Δlim .瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时变化率. Δtt→0Δt思考 (1)瞬时变化率的实质是什么？ (2)平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么？
答案 (1)其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值，它是刻画函数值在某处变化的快慢.
(2)①区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；②Δy
联系：当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值.
Δx知识点三 导数的概念 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是Δlim x→0导数，记作f′(x0)或y′|x?x0，即f′(x0)＝Δlim x→0
f?x0＋Δx?－f?x0?Δy
＝Δlim ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的Δxx→0Δx
f?x0＋Δx?－f?x0?Δy＝Δlim . Δxx→0Δx
思考 (1)函数f(x)在x0处的导数满足什么条件时存在？ (2)求解函数f(x)在x0处导数的步骤是什么？
ΔyΔy
答案 (1)函数f(x)在x0处可导，是指Δx→0时，有极限，如果不存在极限，就说函数在点x0处无导数.
ΔxΔx(2)求解函数f(x)在x0处导数的步骤如下： ①求函数值的增量：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； Δyf?x0＋Δx?－f?x0?
②求平均变化率：＝；
ΔxΔx③取极限，得导数：f′(x0)＝Δlim x→0
f?x0＋Δx?－f?x0?Δy
＝Δlim . Δxx→0Δx
题型一 求平均变化率
1
例1 求函数y＝f(x)＝2x2＋3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝时该函数的平均变化率.
2解 当自变量从x0变化到x0＋Δx时，函数的平均变化率为
2
Δyf?x0＋Δx?－f?x0?[2?x0＋Δx?2＋3]－?2x20＋3?4x0Δx＋2?Δx?＝＝＝＝4x0＋2Δx. ΔxΔxΔxΔx
11当x0＝2，Δx＝时，平均变化率的值为4×2＋2×＝9.
22
反思与感悟 平均变化率是函数值的增量与相应自变量的增量的比值，所以求函数在给定区间[x0，x0＋Δx]上的平均Δyf?x0＋Δx?－f?x0?
变化率问题，即求＝的值.
ΔxΔx
Δy
跟踪训练1 (1)已知函数y＝f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则＝ .
Δx
答案 2Δx＋4
Δy
解析 因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(Δx)2＋4Δx，所以平均变化率＝2Δx＋4.
Δx1
(2)求函数y＝f(x)＝2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率(x0≠0).
x
Δx?2x0＋Δx?－
?x0＋Δx?2x2Δx?2x0＋Δx?2x0＋Δx011Δy
解 ∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝－＝－，∴＝＝－.
ΔxΔx?x0＋Δx?2x2?x0＋Δx?2x2?x0＋Δx?2x2000题型二 实际问题中的瞬时速度
例2 一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移单位：m，时间单位：s). (1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度； (3)求t＝0到t＝2时的平均速度.
s?Δt?－s?0?3Δt－?Δt?2
解 (1)初速度v0＝Δlim ＝Δlim ＝Δlim (3－Δt)＝3. t→0t→0t→0ΔtΔt即物体的初速度为3 m/s.
s?2＋Δt?－s?2?3?2＋Δt?－?2＋Δt?2－?3×2－4?－?Δt?2－Δt(2)v瞬＝Δlim ＝Δlim ＝Δlim ＝Δlim (－Δt－1)＝－1. t→0t→0t→0t→0ΔtΔtΔt即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度方向相反. (3)v＝
s?2?－s?0?6－4－0
＝＝1.即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.
22－0
反思与感悟 作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，Δt趋近于0，指时间间隔Δt越来越小，但不能为0，Δt，Δs在变化中都趋近于0，但它们的比值趋近于一个确定的常数.
1
跟踪训练2 已知一物体作自由落体运动，下落的高度的表达式为s＝gt2，其中g为重力加速度，g≈9.8米/平方秒
2(s的单位：米).
(1)求t从3秒到3.1秒、3.01秒、3.001秒、3.000 1秒各段内的平均速度； (2)求t＝3秒时的瞬时速度.
11
解 (1)当t在区间[3,3.1]上时，Δt＝3.1－3＝0.1(秒)，Δs＝s(3.1)－s(3)＝g·3.12－g·32≈2.989(米).
22v1＝
Δs2.989
≈＝29.89(米/秒). Δt0.1
同理，当t在区间[3,3.01]上时，v2≈29.449(米/秒)，当t在区间[3,3.001]上时，v3≈29.404 9(米/秒)，当t在区间[3,3.000 1]上时，v4≈29.400 49(米/秒).
11
g?3＋Δt?2－g·32
2Δss?3＋Δt?－s?3?21
(2)＝＝＝g(6＋Δt)， ΔtΔtΔt2lim Δt→0
Δs1
＝Δlim g(6＋Δt)＝3g≈29.4(米/秒).所以t＝3秒时的瞬时速度约为29.4米/秒. Δtt→02
题型三 函数在某点处的导数
1
例3 求函数y＝x－在x＝1处的导数.
x
(完整版)高中数学变化率问题导数的概念(老师版)
