微专题：构造函数法解选填压轴题
高考中要取得高分，关键在于选准选好的解题方法，才能省时省力又有效果。近几年各地高考数学试卷中，许多方面尤其涉及函数题目，采用构造函数法解答是一个不错的选择。所谓构造函数法是指通过一定方式，设计并构造一个与有待解答问题相关函数，并对其进行观察分析，借助函数本身性质如单调性或利用运算结果，解决原问题方法，简而言之就是构造函数解答问题。怎样合理的构造函数就是问题的关键，这里我们来一起探讨一下这方面问题。
几种导数的常见构造：
1．对于f'?x??g'?x?，构造h?x??f?x??g?x? 若遇到f'?x??a?a?0?，则可构h?x??f?x??ax
2．对于f'?x??g'?x??0，构造h?x??f?x??g?x? 3．对于f'(x)?f(x)?0，构造h?x??exf?x?
4．对于f'(x)?f(x) [或f'(x)?f(x)?0]，构造h(x)?5．对于xf'?x??f?x??0，构造h?x??xf?x? 6．对于xf'?x??f?x??0，构造h?x??f(x) xef?x? x一、构造函数法比较大小
例1．已知函数y?f(x)的图象关于y轴对称,且当x?(??,0),f(x)?xf'(x)?0成立，
a?20.2?f(20.2)，b?log?3?f(log?3)，c?log39?f(log39),则a,b,c的大小关系是 ( )
A.a?b?c B.a?c?b?c C.c?b?a D.b?a
【解析】因为函数y?f(x)关于y轴对称,所以函数y?xf(x)为奇函数.因为[xf(x)]'?f(x)?xf'(x),
所以当x?(??,0)时,[xf(x)]'?f(x)?xf'(x)?0,函数y?xf(x)单调递减, 当x?(0,??)时,函数y?xf(x)单调递减. 因为1?20.2?2,0?1og?3?1,1og39?2,所以0?1og?3?20.2?1og39,所以b?a?c,选D.
f(x)?0， x变式: 已知定义域为R的奇函数f(x)的导函数为f'(x)，当x?0时，f'(x)?若a?111f(),b??2f(?2),c?lnf(ln2)，则下列关于a,b,c的大小关系正确的是（ D ） 222A.a?b?c B.a?c?b?c C.c?b?a D.b?a例2．已知f(x)为R上的可导函数，且?x?R，均有f(x)?f?(x)，则有
1
A．e2016f(?2016)?f(0)，f(2016)?e2016f(0) B．e2016f(?2016)?f(0)，f(2016)?e2016f(0) C．e2016f(?2016)?f(0)，f(2016)?e2016f(0) D．e2016f(?2016)?f(0)，f(2016)?e2016f(0) f?(x)ex?(ex)?f(x)f?(x)?f(x)f(x)?【解析】构造函数g(x)?x,则g?(x)?，
(ex)2exe因为?x?R,均有f(x)?f?(x)，并且ex?0，所以g?(x)?0，故函数g(x)?所以g(?2016)?g(0)，g(2016)?g(0)，即
f(x)在R上单调递减， exf(?2016)f(2016) ?f(0)，?f(0)，?20162016ee也就是e2016f(?2016)?f(0)，f(2016)?e2016f(0)，故选D．
变式: 已知函数f(x)为定义在R上的可导函数，且f(x)?f'(x)对于任意x?R恒成立，e为自然对数的底数，则（ C ）
A.f(1)?e?f(0)、f(2016)?e2016?f(0) B.f(1)?e?f(0)、f(2016)?e2016?f(0) C.f(1)?e?f(0)、f(2016)?e2016?f(0) D.f(1)?e?f(0)、f(2016)?e2016?f(0)
例3．在数列?an?中，(an)n?1?n?1,(n?N?)．则数列?an?中的最大项为( )．
A．2 B．33 C．55 D．不存在 【解析】由已知a1?2，a2?33，a3?44?2，a4?55 易得a1?a2,a2?a3?a4?....... 猜想当n?2时，?an?是递减数列 又由ann?1?n?1知lnan?lnxln(n?1)，令f(x)?，
xn?11?x?lnx1?lnxx则f?(x)? ?22xx ?当x?3时，lnx?1，则1?lnx?0，即f?(x)?0 ?f(x)在?3,???内为单调递减函数，
?n?2时，?lnan?是递减数列，即?an?是递减数列 又a1?a2，?数列?an?中的最大项为a2?33 故选B． 练习1．已知函数y?f(x)对任意的x?(?A．f(0)???，)满足f?(x)cosx?f(x)sinx?0,则（ ）
222f() B. f(0)?2f(?) C. 2f()?f() D. 2f(?)?f(?)
4334342
??????
提示：构造函数g(x)?f(x)，选D． cosx
二、构造函数法解恒成立问题
例1．若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf?(x)?f(x)?0恒成立，对任意正数a、b，若a?b，则必有（ ）
A．af(b)?bf(a) B．bf(a)?af(b) C．af(a)?bf(b) D．bf(b)?af(a) 【解析】由已知xf?(x)?f(x)?0 ∴构造函数 F(x)?xf(x)，
则F?(x)?xf?(x)?f(x)?0， 从而F(x)在R上为增函数。
?a?b ∴F(a)?F(b) 即af(a)?bf(b)，故选C。
例2．已知f(x)是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf?(x)?f(x)≤0，对任意正数a、b，若a?b，则必有（ ）
A．af(b)?bf(a) B．bf(a)?af(b) C．af(a)?bf(b) D．bf(b)?af(a)
f(x)xf'(x)?f(x)f(x)在（0，+∞）上是减函数， 【解析】F(x)?，F?(x)?，故?0F(x)?xxx2由a?b，有f(a)?f(b)，即 af(b)?bf(a)。故选A。 ab
变式1.设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f'(x)、g'(x)分别为f(x)、g(x)的导函数，且满足
f'(x)g(x)?f(x)g'(x)?0，则当a?x?b时，有（ C ） A.f(x)g(b)?f(b)g(x) B.f(x)g(a?)C.f(x)g(x)?f(b)g(b) D.f(x)g(x?)f(a)g (xf(b)g (a变式2. 设函数f(x),g(x)在[a,b]上均可导,且f?(x)?g?(x),则当a?x?b 时，有（ C ） A．f(x)?g(x)
B．f(x)?g(x)
C．f(x)?g(a)?g(x)?f(a) D．f(x)?g(b)?g(x)?f(b)
2例3．设函数f(x)在R上的导函数为f?(x)，且2f(x)?xf?(x)?x，下面不等式恒成立的是（ ）
A．f(x)?0 B．f(x)?0 C．f(x)?x D．f(x)?x 【解析】由已知，首先令x?0得f(x)?0，排除B，D．
令g(x)?xf(x)，则g?(x)?x?2f(x)?xf?(x)?，
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微专题：构造函数法解选填压轴题
