泰勒公式及无穷小变换的应用
泰勒公式及其应用 等价无穷小在求函数极限
中的应用及推广
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泰勒公式及无穷小变换的应用
泰勒公式及其应用
１ 引言
泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. ２ 预备知识
定义2.1[1] 若函数f在x0存在n阶导数,则有
f'(x0)f''(x0)f(x)?f(x0)?(x?x0)?(x?x0)2?1!2!f(n)(x0)?(x?x0)n?o((x?x0)n)n!
（1）
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泰勒公式及无穷小变换的应用
这里o((x?x0)n)为佩亚诺型余项,称(1)f在点x0的泰勒公式.
f'(0)f''(0)2f(n)(0)n当x0=0时（,1）式变成f(x)?f(0)?x?x???x?o(xn),
1!2!n!称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.
定义2.2[2] 若函数 f在x0某邻域内为存在直至 n?1阶的连续导数,则
f''(x0)f(n)(x0)2f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)?...?(x?x0)n?Rn(x) ,
2!n!'f(n?1)(?)（2）这里Rn(x)为拉格朗日余项Rn(x)?(x?x0)n?1,其中?在x与x0(n?1)!之间,称（2）为f在x0的泰勒公式.
f''(0)2f(n)(0)nx?...?x?Rn(x) 当x0=0时（,2）式变成f(x)?f(0)?f(0)x?2!n!'称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.
常见函数的展开式：
x2xne?xe?1?x?????xn?1.
2!n!(n?1)!x2n?1x3x5nxsinx?x?????(?1)?o(x2n?2). 3!5!(2n?1)!x2x4x6cosx?1????2!4!6!x2n?(?1)?o(x2n).
(2n)!nn?1x2x3nxln(1?x)?x?????(?1)?o(xn?1). 23n?11?1?x?x2???xn?o(xn) 1?x(1?x)m?1?mx?m(m?1)2x??. 2!
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