第三十一讲 分解质因数法
通过把一个合数分解为两个或两个以上质因数，来解答应用题的解题方法叫做分解质因数法。 分解质因数的方法在求最大公约数和最小公倍数时有用，在学习有理数的运算、因式分解、解方程等方面也有广泛的应用。分解质因数的方法还可为一些数学问题提供新颖的解法，有益于开辟解题思路，启迪创造性思维。
例1 一块正方体木块，体积是1331立方厘米。这块正方体木块的棱长是多少厘米？（适于六年级程度）
解：把1331分解质因数：
1331=11×11×11
答：这块正方体木块的棱长是11厘米。
例2 一个数的平方等于324，求这个数。（适于六年级程度） 解：把324分解质因数：
324= 2×2×3×3×3×3
=（2×3×3）×（2×3×3） =18×18
答：这个数是18。例3 相邻两个自然数的最小公倍数是462，求这两个数。（适于六年级程度）解：把462分解质因数：
462=2×3×7×11
=（3×7）×（2×11） =21×22
答：这两个数是21和22。
*例4 ABC×D=1673，在这个乘法算式中，A、B、C、D代表不同的数字，ABC是一个三位数。求ABC代表什么数？（适于六年级程度）
解：因为ABC×D=1673，ABC是一个三位数，所以可把1673分解质因数，然后把质因数组合成一个三位数与另一个数相乘的形式，这个三位数就是ABC所代表的数。
1673=239×7
答：ABC代表239。
例5 一块正方形田地，面积是2304平方米，这块田地的周长是多少米？（适于六年级程度） 解：先把2304分解质因数，并把分解后所得的质因数分成积相同的两组质因数，每组质因数的积就是正方形的边长。
2304=2×2×2×2×2×2×2×2×3×3
=（2×2×2×2×3）×（2×2×2×2×3） =48×48
正方形的边长是48米。 这块田地的周长是：
48×4=192（米）
答略。
*例6 有3250个桔子，平均分给一个幼儿园的小朋友，剩下10个。已知每一名小朋友分得的桔子数接近40个。求这个幼儿园有多少名小朋友？（适于六年级程度）
解：3250-10=3240（个） 把3240分解质因数：
3240=23×34×5
接近40的数有36、37、38、39
这些数中36=22×32，所以只有36是3240的约数。
23×34×5÷（22×32）
=2×32×5
=90
答：这个幼儿园有90名小朋友。
*例7 105的约数共有几个？（适于六年级程度）
解：求一个给定的自然数的约数的个数，可先将这个数分解质因数，然后按一个质数、两个质数、三个质数的乘积……逐一由小到大写出，再求出它的个数即可。
因为，105=3×5×7，
所以，含有一个质数的约数有1、3、5、7共4个； 含有两个质数的乘积的约数有3×5、3×7、5×7共3个； 含有三个质数的乘积的约数有3×5×7共1个。 所以，105的约数共有4+3+1=8个。 答略。
*例8 把15、22、30、35、39、44、52、77、91这九个数平均分成三组，使每组三个数的乘积都相等。这三组数分别是多少？（适于六年级程度）
解：将这九个数分别分解质因数： 15=3×5 22=2×11 30=2×3×5 35=5×7 39=3×13 44=2×2×11 52=2×2×13 77=7×11 91=7×13
观察上面九个数的质因数，不难看出，九个数的质因数中共有六个2，三个3，三个5，三个7，三个11，三个13，这样每组中三个数应包括的质因数有两个2，一个3，一个5，一个7，一个11和一个13。
由以上观察分析可得这三组数分别是：
15、52和77；
22、30和91； 35、39和44。
答略。
*例9 有四个学生，他们的年龄恰好一个比一个大一岁，他们的年龄数相乘的积是5040。四个学生的年龄分别是几岁？（适于六年级程度）
解：把5040分解质因数：
5040=2×2×2×2×3×3×5×7
由于四个学生的年龄一个比一个大1岁，所以他们的年龄数就是四个连续自然数。用八个质因数表示四个连续自然数是：
7，2×2×2，3×3，2×5
即四个学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁、10岁。 答略。
*例10 在等式35×（ ）×81×27=7×18×（ ）×162的两个括号中，填上适当的最小的数。（适于六年级程度）
解：将已知等式的两边分解质因数，得：
5×37×7×（ ）=22×36×7×（ ）
把上面的等式化简，得：
15×（ ）=4×（ ）
所以，在左边的括号内填4，在右边的括号内填15。
15×（4）=4×（15）
答略。
*例11 把84名学生分成人数相等的小组（每组最少2人），一共有几种分法？（适于六年级程度）
解：把84分解质因数：
84=2×2×3×7
除了1和84外，84的约数有：
2，3，7，2×2=4，2×3=6，2×7=14，3×7=21，2×2×3=12，2×2×7=28，2×3×7=42。下面可根据不同的约数进行分组。84÷2=42（组），84÷3=28（组），84÷4=21（组），84÷6=14（组），
小学数学奥数方法讲义40讲(四)
