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-_ _ _ - _ _ _ - _ _
-： _ _ - _ _ _ - _ _ _ - _ _ _ - _ _ 密
12B-SX-0000022
绝密★启用前
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学 全国 I 卷
本试卷共 23 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟
(适用地区：河北、河南、山西、山东、江西、安徽、湖北、湖南、广东、福建 )
号 -
学 - _
_ - _
_
_ _
- _ _ - _ _ _ _ _ 线 _ _ 封 _ _ 密 _ _ - _ ： - 名
姓 - - -
班 - _ _ _ - _ _ _ - _ 年 - _ _ _ _ _ 线 _ _
封 _ - _
_
_ _
- _ _ ：- 校 - 学 -
注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案
写在
答题卡上。写在本试卷上无效。
3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、
选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选
项中， 只有一项是符合题目要求的。 1 ．设 z 3 i ，则 z =
1 2i
A． 2
B ． 3
C． 2 D． 1 2．已知集合 U 1,2,3,4,5,6,7 ，A
2,3,4,5 ，B 2,3,6,7 ，则 B e A
U
A． 1,6
B． 1,7
C． 6,7
D． 1,6,7 3 ．已知 a log0.2
0.32 0.2,b 2, c 0.2 ，则
A． a b c
B． a c b
C． c a b D． b c a
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之
--
比
--
此．此外，最美人体的头顶至咽喉 的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是
5
1
．若某人满足 2
51 5 1
是 （ ≈ 0.618，称为黄金分割比例 )，著名
上述两个黄金分割比例，且腿长为 105cm，头顶至脖子下 2 2
端的长度为 26 cm，则其身高可能是
6．某学校为了解 1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为 1， 2， ? ， 1 C. D.
的 “A. 165 断cm 臂C. 185 维
cm 纳5. 函数 f(x)= sin x x2 在 [—π，斯 ”
大致为 cos x x 便
是 如
A.
B. 175 cm D. 190cm B. -1-
--
000，
从这些新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验 .若 46 号学生
被抽到，则下面 4 名学生中被抽到的是
A ．8 号学生 B ． 200 号学生 C． 616 号学生 D ．815 号学生 7．tan255 =°
A．－2－ 3
B．－2+
3
C．2－
3
D．2+
3
-2-
π]的图像 12B-SX-0000022
8．已知非零向a， b 满足 a = b，则 a 与 b 的夹角
量
2 b ，且（ a–b） 为 π
π
2 π 5 π
A ．
B． C． D ．
6
3 3 6
1 9. 如图是
1
求
2 的程序框图，图中空白框中应填入 1 2
2 1
A. A=
2 A
1
B. A=2 A
1
C. A=
1 2 A
1
D. A=1 2 A
x2 y2
0) 的一条渐近线的倾斜角
130 °，则 C 10．双曲线 C：
1(a 0,b
为 的
a2
b2
离心率为
A ． 2sin40 B ． 2cos40
1 1 °
° C． D．
sin50 cos50 11． △ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b，c，已知 asinA－ bsinB=4 csinC， cosA=－ 1 ，则 b
=
4 c
A ． 6 B ． 5
C． 4
D． 3
12．已知椭圆 C 的焦点为 F1( 1,0),F2(1,0)，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两
--
点 .若
|AF |
2|F B|， |AB| |BF|，则 C 的方程为
2 2 1
--
A．
--
___________．
x
2 x C．
22
y y
2
2
1
B． x 3
2y 2 y
2
2
1
1
4 3 4
二、填空题：本题
4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 共
x
D ．
5
270 分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。三、解答题：
第 17~21 题 共
为必考题，每个试题考生都必须作答。
22、23 题为选考题，考生根据要求 第 作答。
（一）必考题：共
60 分。
17．（ 12
分）
1
13．曲线 y 3(x2
x)ex 在点 (0, 0) 处的切线方程为 ___________．
14．记 Sn 为等比数列 { an} 的前 n 项
3 和 .若 a1 1， S3 ，则 S4=___________． 4
15．函数 f
3π ( x) sin(2 x ) 3cos x 的最小值为 ___________．
2
16．已知∠ ACB= 90°， P 为平面 ABC 外一点， PC=2，点 P 到∠ ACB 两边 AC， BC
的距离均为 3
，那么 P 到平面 ABC 的距离为
-3-
--
某商场为提高服务质量， 随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客， 每位顾客对 该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表： 满意 不满意
男顾客
40 10 女顾客
30
20
（ 1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（ 2）能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
-4-
--
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附： K P（ K ≥k）
22
．
(a b)(c d )(a c)(b d )
0.050 0.010 0.001 n( ad bc)
2
18 ．（ 12 分）
记 Sn 为等差数列 { an} 的前 n 项和，已知 S9=－ a5．
（ 1）若 a3=4，求 { an} 的通项公式；
（ 2）若 a1>0，求使得 Sn≥an 的 n 的取值范围． k 3.841
6.635 10.828
-5-
--
-6-
--
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19．（ 12 分）
如图，直四棱柱 ABCD –A1B1C1D1 的底面是菱形， AA1=4，AB=2，∠ BAD=60 °，
E， M， N 分别是 BC， BB1， A1D 的中点 . （ 1）证明： MN∥平面 C1DE ；
（ 2）求点 C 到平面 C1DE 的距离．
20．（ 12 分）
已知函数 f （x） =2sinx－ xcosx－ x， f （′x）为 f（ x）的导数．
（ 1）证明： f （′x）在区间（ 0， π）存在唯一零点； （ 2）若 x∈ [0， π]时， f（ x） ≥ax，求 a 的取值范围．
--
--
-7- -8-
--
--
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（二）选考题：共
21.（ 12 分）
已知点 A，B 关于坐标原O 对称，│AB│ =4，⊙ M 过点 A，B 且与
x+2=0 点 直线
相切．
（ 1 ）若 A 在直线 x+y=0 上，求⊙ M 的半径；
（ ）是否存在定P，使得当 A 运动时，│MA│－ │MP │为定值？并说明理
10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，
则
按所做的第一题计分。
22． [ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 ] （10 分） 2 x
1 t t 在直角坐标
1 2 系
xOy 中，曲线 C 的参数方程为 4 t y t
1 2 标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 直线 2 cos
3 sin11 0 ．
（ 1）求 C 和 l 的直角坐标方程；
（ 2）求 C 上的点到 l 距离的最小值．
--
t 为参数），以 坐
l 的极坐标方程为
2 点 由．
，（
--
-9-
-10-
--
--
23 ． [ 选修 4-5 ：不等式选讲 ]（ 10 分）
已知 a， b， c 为正数，且满abc=1．证足 明：
（1） （ 2）
(a
b) (b c) (c a)
33
3
1
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1 a b 1 a b c2 ； c
24．
22--
--
-11-
-12-
--
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2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学 全国 I 卷 参考答案 一、选择
题
1． C
2． C
3． B 4． B 5． D 6． C 11． 7． D
8． B 9． A 10．D A
12． B
二、填空
题
13． y=3x
14． 5
15．-
4
16． 2
8
三、解答
题
17．解：
40
（ 1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为
0.8 顾
，因此男
50
客对该商场服务满意的概率的估计值
为
0.8． 30
女顾客中对该商场服务满意的比率为 0.6
，因此女顾客对该商场服务满
50
意的概率的估计值为 0.6．
（ 2
） 2 100 (40 20 30 10)2
．
K 4.762
50 50
70 30
由于 4.762 3.841，故有 95% 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价
有差异 .
18
．解： （ 1）设
an 的公差为 d． 由 S9
a5得 a1 4d 0．
由 a3=4得 a1 2d 4．于是 a1 8,d 2．
--
因此 an 的通项公式为 an 10 2n．
（ 2）由（ 1）得 a 4d，故 n(n 9) d .
1
an ( n 5) d, Sn 2
--
由 a1 0知 d 0 ，故 Sn?an 等价于 n 11 n 10 , 所以 n的取值范围是 { n |1剟n N }
10, n ． 19．解：
.因为 M，E分别
为
2--
0 ，解得 1≤n≤ 10．
1 1 4 17 .
17 由已知可得 CE=1， C1C=4 ，所以 C E 17 ，故 CH
1 从而点 C到平面 CDE的距离为
1 4 17
.
（1）连结 BC,ME
1 BB, BC的中点，所以 ME∥BC 1
，且 1
.又因为 N为 AD1 的中点，所ME 1 BC
1 以 ND 1 A D 1 . 2
2
∥
∥
∥
由题设知 AB，故
11 = DC ，可得 BC1 = AD1 ME = ND ，因此四边形 MNDE 为平行四边形， MN∥ED .又 MN 平面 CDE，所以 MN ∥平面 CDE
1 1 （ 2）过 C作 C1E的垂线，垂足为
H.
由已知可得 DE
BC ， DE CC，所以 DE ⊥平面 CCE，故 DE⊥ CH.
1 1 从而 CH ⊥平面 CDE，故 CH的长即为 C到平面 CDE的距离，
-13-
.
--
20．解：
17
-14-
--
12B-SX-0000022 （ 1）设 g ( x)
当
( x) ，则 g f ( x)
cos x x sin x 1, g ( x) x cos x . π π , π 时，g ( x) 0 ，所以 g ( x )
在 (0, )
2 2
故 M 的半径 r =2或 r =6 .
（ 2）存在定点 P
(1,0)
，使得 |MA | |MP |为定值 . 理由如下：
M 的半径为 r 设 M ( x, y ) ，由已
=|x+2|,|AO|=2 . 知得
π
x (0, ) 时，g ( x)
2
0 ；当 x
π
, π 单调递
单调递增，在 减 .
2 又
0, π 0,
g(0)
g
g( π) 2 ，故 g ( x) 在 (0, π) 存在唯一零点 .
2
所以 ( x) 在 (0, π) 存在唯一零
f
点 . （ 2）由题设f ( π)?aπ, f 知
( π) 0 ，可得 a≤0. f ( x) 在 (0, π) 只有一个零
0, x0 由（ 1）知， 点，设为 x0 ，且当 x 时， f
x0, π时， ( x0 ，所以 f ( x ) 在 单调递
( x )
0 ；当 x f
) 0, x0
增，
在 x0 ,π 单调递减 .
又 f
0, f [0, π] 时， f ( x) (0) ( π) 0 ，所以，当 x ?0 .
又当
[0, π] 时， ax≤0，故 f a,
0, x ( x)?ax . 因此， a的取值范围是
(
,0] . M 过点 A, B ，所以圆心 M 在 AB 的垂直平分线上 .由已知
21．解：（1）因为 A 在
直线 x + y =0 上，且 A,B 关于坐标原O 对称，所以 M 在直线
点 y x上，故可
设 M ( a, a ) . 因为 M 与直线 x+2=0 相切，所M 的半径为
以 r
| a 2 | . ，解得 a=0 2
由已知得 |AO |=2 ，又 MO
AO ，故可得 2a 4 (a 2)2
或 a=4 .
--
2y
由于 MO 4x .
4x 是以点 P
因为曲线 C: y (1,0)
2
--
AO ，故可得 x
2
π 3 7
11 .
y 4 (x 2) ，化简得 M 的轨迹方程为
22
为焦点， 以直线 x 1 为准线的抛物线，
C上的点到 l 的距离| 2cos
为
π
4cos
2 3 sin 11| 7
11 取得最小值 7，故 C上的点到 l 距离的最
所以 |MP |=x+1 .
因为 |MA | |MP (x+1)=1 ，所以存在满足条件的定
|=r |MP |=x+2 点 P.
2 2 1 2 22．解：（ 1）因
1 t ，且 2 y t 2 4t 2
，所以为
1 1 1 t2 x 2 1 t2 2
1 t 2 1
C的直角坐标方程 2
y2 为 x 1(x
1) .
4 l 的直角坐标方程
为
2x 3y 11 0 .
（2）由（ 1）可设 C的参数方程 x cos ,
π） 为
y 2sin （ 为参数， π .
-15-
当
2 π
时， 4cos 小
3 3
值为 7 .
23．解：（ 1）因为 a2
b2 2abb,2
c2
2bc, ca2
b2
c 2
ab bc ca ab bc ca
abc
所以111
a 2 b 2 c 2
. b
a c
-16-
--
2
a2
1 1 a b
2ac，又1 .
c
abc 1，故有
--
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（ 2）因为 a ,
b , c 为正数且 abc 1，故有 3 3 (a b)3 (b c) 3
( a (a b)3
(b c)3
(c a)3
c)3
=3(a +b)(b +c)( a+c)
3 (2 ab) (2 bc) (2 ac) =24.
所以 (a b)3
(b c)3
(c a)3
24.
--
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-17- -18-
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-20-
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2019年高考文科数学全国1卷（附答案） - 图文
