曲 线 运 动
一.运动的合成与分解
1.曲线运动：运动的轨迹为__________,其速度方向为________方向.
2.物体做曲线运动的条件：物体________方向与物体的速度方向不在同一直线上，物体就做曲线运动. 3.运动的合成与分解： ⑴合运动与分运动的关系
①独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响. ②等时性：合运动和分运动经历的________相等.即同时开始，同时进行，同时停止. ③等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果.
研究运动合成和分解，目的在于把一些复杂的曲线运动简化为比较简单的直线运动，这样就可以应用已经掌握的有关直线运动的规律，来研究一些复杂的曲线运动. (2)合运动轨迹的判断
两直线运动的合运动的性质和轨迹由___________与___________的方向决定： ①两个匀速直线运动的合运动是______________运动.
②一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动是______________运动.
二者共线时为____________运动，如竖直上抛运动或竖直下抛运动；二者不共线时为______________，如平抛运动. ③两个匀变速直线运动的合运动为_____________运动.
当合初速度与合加速度共线时为_______________运动；当合初速度与合加速度不共线时为________________运动. 例1:如图1-1所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时突然使它所受的力反向而 大小不变(即由F变为-F)，在此力作用下，物体以后的运动情况，下列说法正确的是（ ） A．物体可能沿曲线Ba运动 B．物体可能沿曲线Bb运动
C．物体可能沿曲线Bc运动 D．物体可能沿原曲线由B返回A 例2：有关运动的合成，以下说法中正确的是( ) A．两个直线运动的合运动一定是直线运动
B．两个不在同一直线上的匀速直线运动的合运动一定是直线运动
图 1-1 C．匀加速运动和匀速直线运动的合运动一定是直线运动
D．两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动
例3:物体在几个外力的作用下做匀速直线运动，如果撤掉其中的一个力，它不可能做（ ）
A．匀速直线运动 B．匀加速直线运动 C．匀减速直线运动 D．曲线运动
例4:竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中以0.1 m/s的速度 匀速上浮.现当红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管水平匀速向右运动，测得红蜡块实际运动方向与水平方向成30°角，如图1-2所示。若玻璃管的长度为1.0 m，则可知玻璃管水平方向的移动速度和水平运动的位移为 （ ） A．0.1 m/s，1.7 m B．0.17 m/s，1.0 m C．0.17 m/s，1.7 m
D．0.1 m/s，1.0 m
图 1-2
例5：敌机在正东方向以500米/秒的速度向南飞行的同时,炮弹以1000米/秒的速度飞出, 为击中敌机,炮弹的飞行方向与正东方向偏离________度.
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二．常见的问题
1.过河问题: 已知河宽为d
⑴当V船与河岸垂直时,过河______最 ⑵当V合与河岸垂直时,过河______最 ⑶当 V船< V水时,船的实际航 短,为_______________,过河后船将偏 短,为______________,此时的过河时 线偏角θ最大时,有_________ 离航线S =________, 间为____________。 此时船的实际航程为________。 2.如图2-1所示，在河岸上利用定滑轮拉绳使小船靠岸，拉绳速度为v，当船 头绳长方向与水平方向夹角为θ时，船的速度为 。
例1:小船在200 m宽的河中横渡，水流速度为2 m/s，船在静水中的航速是4 m/s， 求：(1)当小船的船头始终正对对岸时，它将在何时、何地到达对岸? ⑵要使小船到达正对岸，应如何行驶?历时多长?
图 2-1
例2:小船在水速较小的河中横渡，并使船头始终垂直河岸航行，到达河中间时突然上游来水使水流速度加快，则对此小船渡河的说法正确的是 （ ）
A．小船要用更长的时间才能到达对岸 B．小船到达对岸的时间不变，但位移将变大 C．因小船船头始终垂直河岸航行，故所用时间及位移都不会变化 D．因船速与水速关系未知，故无法确定渡河时间及位移的变化
例3:在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2(v1>v2)。河岸宽度为d，则战士想渡河救人，则摩托艇的最短位移为( )
22A．dv2/v2 B．0 C．dv1/v2 D．dv2/v1 ?v1例4:玻璃生产线上，宽9m的成型玻璃板以2m/s的速度连续不断地向前行进，在切割工序处，金刚钻的割刀速度为10m/s，为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，金刚钻割刀的轨道方向应控制为 ,切割一次的时间为 。
例5:如图2-2所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车匀速向右运动时，物体A的 受力情况是( )
A．绳的拉力大于A的重力 B．绳的拉力等于A的重力
C．绳的拉力小于A的重力 D．拉力先大于重力，后变为小于重力 图 2-2 三.平抛运动 1.定义：物体以一定的初速度水平抛出，只在重力作用下的运动。
故平抛运动为____________(变速,匀变速)曲线运动. 2.平抛运动的研究方法：
将平抛运动分解为水平方向的________运动和竖直方向的____________运动，分别研究两个 分运动的规律，必要时再用运动合成方法进行合成.
注意：如题中明确告诉了速度(位移)方向，就分别将速度(位移)分解.
3.平抛运动公式:（1）加速度 ax =________, ay =_________
图 3-1 （2）速度:Vx=______,Vy=_______,速度偏角tanα=___________,V =____________。 （3）位移:X=_______,Y=______,位移偏角tanβ=__________=______tanα
（4）飞行时间: t =_____=______=______;水平射程x =_______ =________。
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4.常见规律：
图 3-2 (1) 飞行时间由____决定,与____无关 .平抛物体的射程由______和________共同决定.
(2)水平运动和竖直运动互不影响.如枪打猴子问题:如图3-2所示,如果在子弹水 平射出的同时,猴子开始下落,则只要子弹射程足够,猴子一定能被射中,与子弹 的速度大小______关. 5.常见的平抛图景:
飞机扔炸弹:如图3-3所示，设匀速水平飞行的飞机,每隔相等的时间仍出一颗炸弹, 则所有炸弹某一时刻的位置如图: 可见所有炸弹作_____________运动, 但以飞机为参照物,则所有炸弹作________________运动,
图 3-3 以炸弹2为参照物,炸弹1作________运动,以炸弹1为参照物,炸弹2作______运动,
以地面上的人看来,所有炸弹在空中的位置位于一条___________上,
它们间的距离之比为____________.
6.平抛运动是匀变速曲线运动，故相等时间内______________相等，且必沿竖直方向. 如图3-4所示，任意两时刻的速度与速度变化量△v构成直角三角形.△v沿竖直方向. 注意：平抛运动的速率随时间并不均匀变化.速度随时间是均匀变化的.
图 3-4 例1:物体在大小不变的合外力作用下运动，那么关于这个物体的运动，下列说法错误的是( )
A．可能作匀变速直线运动 B．可能作匀变速曲线运动 C．可能作非匀变速运动 D．可能作匀速直线运动
例2:如图3-5所示,某人骑摩托车在水平道路上行驶，要在A处越过x?5m的壕沟，沟对面比A处低h?1.25m，摩托车的速度至少要有多大？
例3:（07年丰台二模）在高为h的平台上，以速度v0水平抛出一石子，不计空气阻力，则
图 3-5 石子从抛出到落地经过的时间（ ）
A．只与v0有关，v0越大，时间越长 B．只与h有关，h越大，时间越长 C．与v0、h都有关 D．与v0、h都无关
例4:雨滴由静止开始下落，遇到水平方向吹来的风，下述说法中正确的是（ ） ①风速越大，雨滴下落时间越长 ②风速越大，雨滴着地时速度越大 ③雨滴下落时间与风速无关 ④雨滴着地速度与风速无关 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ F 例5: (08年朝阳二模)如图3-6所示，质量m=2.0kg的木块静止在高h=1.8m的水 平台上，木块距平台右边缘7.75m，木块与平台间的动摩擦因数μ =0.2。用水平 h 2
拉力F=20N拉动木块，木块向右运动4.0m时撤去F。不计空气阻力，g取10m/s。 求：（1）F作用于木块的时间； （2）木块离开平台时的速度大小； 图 3-6 （3）木块落地时距平台边缘的水平距离。
例6:（08年朝阳一模）在地球表面某高度处以一定的初速度水平抛出一个小球,测得水平射程为s ,在另一星球表面以相同的水平速度抛出该小球，需将高度降低一半才可以获得相同的水平射程。忽略一切阻力。设地球表面重力加速度为g，该星球表面的重力加速度为g′，则
g为（ ） g? A． B．
122 C． 2 D．2 2例7:飞机以150m/s的速度水平匀速飞行，某时刻自由释放a球，1s后又自由释放b球。不计空气阻力，下列关于两球之间的相对位置关系说法正确的是（ ）
A．a球在b球的前下方 B．a球在b球的后下方
C．a球始终在b球的正下方5m处 D．a球始终在b球的正下方，但两者之间的距离逐渐变大
3
例8:一物以10米/秒的初速度水平抛出,一秒后的速度方向与水平方向成____度,
0
再经____秒后,速度方向与水平方向成60.
例9:从H高处水平抛出一物体,落地点距抛出点的水平距离也为H,则小球在空中运 动的时间为________________，平抛的初速度为___________。
0
例10:如图3-7所示，物体平抛2秒后垂直撞在倾角为30的斜面上,
图 3-7 则物体水平抛出的速度为______米/秒.
例11:如图3-8所示，在《研究平抛物体的运动》的实验中，用一张印有小方格的纸记录轨 迹，每个小方格的边长L=1.25 cm.若小球在平抛运动途中的几个位置为图中的a、b、c、d几点，则小球平抛的初速度的计算式为v0= (用L和g表示)，其值是 ，小球在b点的速率是 .(取g=9.8 m/s2)
图 3-8 例12:（07年海淀二模）某同学利用闪光照相研究物体的平抛运动，他拍摄了小球沿水平桌 a 面运动并抛出的闪光照片，如图3-9所示。若图中每一正方形小格的边长均表示1.0cm，照b c 相机相邻两次闪光的时间间隔均为0.050s。根据图中的记录，可计算出小球做平抛运动的初
d 速度大小为 m/s，小球通过e点时竖直方向的速度大小为 m/s。
e
f 四.匀速圆周运动 图3-9 1.圆周运动几个重要概念：
(1)定义:质点作_______运动,如果在相等的时间内通过的______相等或转过的_____相等.
(2)线速度v: ①方向：就是圆弧上该点的______方向.②大小：v=_____=______，单位：______. ③物理意义：描述质点沿圆弧运动的快慢.
(3)角速度ω：①方向：中学阶段不研究； ②大小：ω=________=_________，单位：________； ③物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢。④角速度ω和转速n的关系：______________.
（4）周期T：质点沿圆周运动一周所用时间，国际单位是s. 频率f：质点单位时间内沿圆周转过的圈数，国际单位是Hz. （5）v、f、v、ω的关系： T=1/f，f=1/T， ω=2π/T=2πf， v=2πr/T=2πrf， v=ωr， ω=v/r. 注意：T、f、ω三个量中任一个确定，其余两个也就确定了，但v还和r有关.
（6）向心加速度: ①方向：总是指向圆心，时刻在变化； ②大小：a=_______=_______=_________=__________. ③物理意义：描述线速度改变的快慢
注意： a与r是成正比还是成反比?若ω相同，则a与r成_______比，若v相同，则a与r成________比；若是r相同，则a与ω2成_______比，与v2成________比.
（7）向心力: ①方向：总是指向圆心，时刻在变化(F是-个变力)； ②大小：F=________=________=__________=__________. ③作用：产生向心加速度，只改变速度方向，不改变速率。
④向心力是按力的作用效果命名的，它并非独立于重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力以外的另一种力，而是这些力中的一个或几个的合力.
2.注意点：（1）匀速圆周运动实际上是_______ (匀,加)速运动,并且是一个________(匀,变)加速运动. （2）在同一轴上转动的物体各部分_______速度相等,用皮带传动的两转轮边缘(皮带触点)_____速度相等。
例1:如图4-1为一皮带传动装置，右轮半径为r，a是它的边缘上的一点，左侧是一轮轴， 大轮的半径是4r，小轮的半径是2r，b点在小轮上，到小轮的中心距离是r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑，则（ ） A．a点与d点的线速度大小相等 B．a点与b点的角速度大小相等 图 4-1 C．a点与c点的线速度大小相等 D．a点与d点的向心加速度大小相等
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例2:如图4-2所示,AC为合为一整体的同轴的两轮,C用皮带与B轮相连,其中ABC为三轮边缘 上的三点,已知rA:rB:rC = 4:3:2,当它们以恒定的速度转动时,有VA :VB :VC =_____________, ωA:ωB:ωC = ____________,aA:aB:aC =____________.
例3:甲、乙两个物体都做匀速圆周运动,A、B两球的质量之比为1:2，转动半径之比为1:2， 在相同时间里甲转过60°角，乙转过45°角，则他们的向心力之比为（ ） A．1:4 B．2：3 C．4:9 D．9:16
例4:如图4-3所示,一个球绕中心线OO’以角速度ω转动,则 ( ) A.A、B两点的角速度相等 B.A、B两点的线速度相等 C.若θ=30°,则A、B两点的线速度大小之比为VA:VB?3:2 D.若θ=30°,则A、B两点的向心加速度大小之比为aA:aB?图 4-3
例5:（08年崇文二模）一只小狗拉雪橇沿位于水平面内的圆弧形道路匀速行使，如图4-4所示画出了雪橇受到牵引力F和摩擦力f的可能方向的示意图，其中表示正确的图是 （ ）
图 4-4
例6:一个做匀速圆周运动的物体，如果轨道半径不变，转速变为原来的3倍，所需的向心力就比原来的向心力大40 N，那么物体原来的向心力大小为________ . 例7:机械手表中的分针与秒针的运动可视为是匀速转动，分针与秒针从重合到第二次重合，中间经历的时间为（ ） A. 1 min B. 图 4-2
3:2
596061min C. min D. min 605960例8:如图4-5所示，直径为d的纸制圆筒，使它以角速度ω绕轴匀速转动，然后使子弹沿 直径穿过圆筒.若子弹在圆筒旋转不到半周时在圆筒上留下a、b两个弹孔，已知aO、bO夹
角为φ，求子弹的速度。
图 4-5
五．匀速圆周运动的实例分析
1.汽车过桥:①过凸型桥 ：在最高点时 ②过凹型桥 在最低点时
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F 由F合 = F向 得: _____________ = m V/r 由F合 = F向 得: _____________ = m V/r 得车受的支持力： F = ___________, 得车受的支持力：
当F = 0时, 有:__________________, F = _________ ___mg( > < )
mg 得此时的速度V =_________________.
2.火车拐弯: 如图5-1所示.由F合 = F向 得: ________________________. 当铁轨间距为L时,外轨应垫高h: tanθ=___________(θ很小)
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4曲线运动
