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高中数学必修五
第一章
解三角形
a, b, c分别表示它们所对的各边长，
一、基础知识【理解去记】
在本章中约定用A，B，C分别表示△ABC的三个内角，
p
ab2
c
为半周长。
1．正弦定理：
asinA
bsinB
c
sinC
1
推论1：△ABC的面积为S△ABC=absinC
2
推论2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a. 推论3：在△ABC中，A+B=
，解a满足
=2R（R为△ABC外接圆半径）。
12a
bcsinA
bsin(
12
casinB.
sinaa)
，则a=A.
1，由正弦函数定义，
-A，所以sin(B+C)=sinA，即
正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论BC边上的高为
bsinC，所以S△ABC=
12
absinC；再证推论2，因为B+C=
sinBcosC+cosBsinC=sinA，两边同乘以2R得bcosC+ccosB=a；再证推论4，由正弦定理以
asinA
-A+a)-cos(-a+A<
bsinB
，所
sinasinA12
[cos(
sin(sin(
a)A)
，即sinasin(-A)=sin(-a)sinA，等价于
12
[cos(-A+a，
-A-a)]=
-a+A)-cos(-a-A)]，等价于cos(-A+a)=cos(-a+A)，因为0<. 所以只有
-A+a=-a+A，所以a=A，得证。
2
2
2
2．余弦定理：a=b+c-2bccosA
cosA
b
2
c
2
a
2
2bc
，下面用余弦定理证明几个常用的结论。
（1）斯特瓦特定理【了解】：在△ABC中，D是BC边上任意一点，BD=p，DC=q，则AD=
2
bpp
2
cqq
2
pq.
（1）
【证明】所以同理因为所以所以
2
因为c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos
①②
ADB，
c2=AD2+p2-2AD·pcosADB.b2=AD2+q2-2AD·qcosADC，ADB+ADC=，cosADB+cosADC=0，q×①+p×②得
2
2
2
qc+pb=(p+q)AD+pq(p+q)，即AD=
bpp
2
cqqADS
2ABC
2
pq.
2b14
2
注：在（1）式中，若p=q，则为中线长公式（
2）
2
2c2
2
2
a
2
.14
bc
2
2
海伦
2
公式：
2
因
2
为
2
bcsinA=
22
(1-cosA)=
2
14
bc
22
1
(bc
22
2
a)
2
116
4bc
[(b+c)-a][a-(b-c)
2
]=p(p-a)(p-b)(p-c).
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这里p
ab2
c
.
所以S△ABC=
p(pa)(pb)(pc).
二、基础例题【必会】
1．面积法
例1 （共线关系的张角公式）如图所示，从
O点发出的三条射线满足
POQ,QOR
，另
外OP，OQ，OR的长分别为u, w, v，这里α，β，α+β∈(0, )，则P，Q，R的共线的充要条件是
sinu1
sinv
1
sin(
w
12
)
.
【证明】P，Q，R共线
SΔPQR
0S
OPR
SOPQ
S
ORQ
2
sin(
uvsin(α+β)=
)w
2
sinu
uwsinα+vwsinβ，得证。
sinv
2．正弦定理的应用
例2 如图所示，△ABC内有一点P，使得求证：AP·BC=BP·CA=CP·AB。【证明】
过点P作PD
BC，PE
AC，PFEDF=BAC+
A，F；P，D，B，F三组四点共圆，所以设及BPC+CPA+APB=3600可得
所以
所以
BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。
AB，垂足分别为PDE+CBA+
D，E，F，则P，D，C，E；P，E，
PBA=
BPC-BAC。由题
PDF=PCA+ACB=1800。
BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB=600。EDF=600，同理DEF=600，所以△DEF是正三角形。
BAC=BPsin
ABC，两边同时乘以△ABC的
BC。
所以DE=EF=DF，由正弦定理，CDsinACB=APsin
外接圆直径2R，得CP·BA=AP·BC=BP·AC，得证：
例3 如图所示，△ABC的各边分别与两圆⊙【证明】延长PA交GD于M，因为O1G由正弦定理所以
BC，O2D
BC，所以只需证
2相切，直线O1，⊙OGF与DE交于P，求证：PA
GMMD
2)
O1AAO2
AEsin
，
AFAE
.
APsin(sin
1)1sin
.,
AFsin
,
PAsin(
AEAF
另一方面，所以所以
sin2sin
GMPMsinsinsinAFAE
sin2sin1sin
MDPMsin
2
1sin
，
，
GMMDGMMD
，所以PA//O1G，
即PABC，得证。
x, y, z，则a=y+z, b=z+x,
3．一个常用的代换：在△ABC中，记点A，B，C到内切圆的切线长分别为
c=x+y.
例4 在△ABC中，求证：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc. 【证明】令a=y+z, b=z+x, c=x+y，则
abc=(x+y)(y+z)(z+x)
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8xy
2
yz
2
zx=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)
2
=a(b+c-a)+b(c+a-b)+c(a+b-c)-2abc. 所以a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc. 4．三角换元。
例5 设a, b, c∈R，且abc+a+c=b，试求P【解】
由题设
+
2a
2
21
b
2
31
c
2
1
的最大值。
b
ac
1ac
，令a=tanα, c=tanγ, b=tanβ,
则tanβ=tan(α+γ), P=2sinγsin(2α+γ)+3cosγ≤
2
103
3sin
2,c
24
1
3
2
10，3
103.
当且仅当α+β=
2
，sinγ=
13
，即a=
22
,b
时，Pmax=
例6 在△ABC中，若a+b+c=1，求证: a2+b2+c2+4abc<【证明】
设a=sin2αcos2β, b=cos2αcos2β, c=sin2β, β
c<
12
.
.
0,
2
因为a, b, c为三边长，所以从而
12
, c>|a-b|，
0,
4
2
>|cos2α·cos2β|. ，所以sinβ
因为1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca),
所以a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc). 又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c)
2
cos2β+sin2αcos2α·cos4β·cos2β=sinβ
==
1414
224
cos2β] [1-cos2β+(1-cos2α)cosβ
+
14
cos2β(cos4β-cos22αcos4β-cos2β)
111442
-sinβ-cosβ)=. >+cos2β(cosβ
444
所以
a2
+b+c+4abc<
2
2
12
.
三、趋近高考【必懂】
A
2
1．（全国10高考）在△ABC中，cos2
b2c
c9
10，c＝5，求△ABC的内切圆半径．
b
【解析】：∵
c＝5，
c2c
b
910，∴c2c
b＝4
A
又cos22
1b
cosA2
∴
cosA＝c
b
又cosA＝只供学习与交流
2
c
2
a
2
2bc
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b
∴∴∴∴a＝
2
c
2
a
2
bc
2bc
b2＋c2-a2＝2b2a2＋b2＝c2
△ABC是以角C为直角的三角形．
c
2
b＝3
1
r＝2(b＋a-c)＝1．
ab＜4RcosAcosB，则外心位于△ABC的外部．
2
2
∴△ABC的内切圆半径
2．（全国10高考）R是△ABC的外接圆半径，若【解析】：∵
∴∴∴∴∵∴∴∴∴∴
ab＜4R2cosAcosBa＝2RsinA，b＝2RsinB
由正弦定理得
4R2sinAsinB＜4R2cosAcosBcosAcosB＞sinAsinBcosAcosB-sinAsinB＞0 cos(A＋B)＞0 cos(A＋B)＝-cosC-cosC＞0 cosC＜0 90°＜C＜180°△ABC是钝角三角形
三角形的外心位于三角形的外部．
3．（全国10高考）半径为(1)求角C；
R的圆外接于△ABC，且2R(sin2A-sin2C)＝(
3a-b)sinB．
(2)求△ABC面积的最大值．
a
【解析】：(1)∵
bsinB
2
csinCc2R
2
sinAa2R
2
2R
b2R
sinA
∵∴∴
2
(),sinC(),sinB
2R(sin2A-sin2C)＝(
3a－b)sinB
b
3a-b)·2R
ac3ab-b2
2R［(2R)2-(2R)2］＝(a2-c2＝
a
∴
2
b
2
c
2
32
2ab3
cosC＝2，∴
1
S＝2absinC
∴C＝30°
(2)∵
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1
＝2·2RsinA·2RsinB·sinC＝R2sinAsinB
RRR
2
2
＝-2［cos(A＋B)-cos(A-B)］＝2［cos(A-B)＋cosC］
3＝2［cos(A-B)＋2］
2
当cos(A-B)＝1时，S有最大值
第二章数列
*******毋庸置疑，数列是历年各省市解答题中必出的内容。因此同学要熟练百倍！
一、基础知识【理解去记】
定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如
1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列
an是关于n的具
{an}的一般形式通常记作a1, a2, a3,…，an或a1, a2, a3,…，an…。其中a1叫做数列的首项，体表达式，称为数列的通项。
定理1 若Sn表示{an}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，an=Sn-Sn-1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有an+1-an=d（常数），则{an}称为等差数列，d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d. 定理2 *****【必考】等差数列的性质：1）通项公式an=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：Sn=
n(a1
2
an)
na1
n(n1)2
an-am=(n-m)d，d；3）其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，则an+am=ap+a-{an}是等差数列的充
q；5）对任意正整数要条件是Sn=An2
p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则+Bn.
n，都有
定义3 等比数列，若对任意的正整数
anan
1
q，则{an}称为等比数列，q叫做公比。
1时，Sn=
定理3 *****【必考】等比数列的性质：
1）an=a1q；2）前n项和Sn，当q
n-1
a1(1q)
n
1q
；当
q=1时，Sn=na1；3）如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等比中项；4）若m+n=p+q，则aman=apaq。
定义4 极限，给定数列{an}和实数A，若对任意的>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|an-A|<，则称A为n→+∞时数列{an}的极限，记作定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列和Sn的极限（即其所有项的和）为
liman
n
A.
n项
{an}的公比q满足|q|<1，则称之为无穷递增等比数列，其前（由极限的定义可得）。
a11q
定理4 数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)时n=k成立时能推出成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。只供学习与交流
p(n)对n=k+1
人教版高中数学必修五典型例题复习进程
