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三角函数模型的简单应用
【知识梳理】
1．三角函数模型应用的步骤
三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决．
步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．
这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式．
2．三角函数模型的拟合应用
我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图〞，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．
【常考题型】
题型一、函数解析式与图像对应问题
【例1】 函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]的大致图像是( )
[解析] 由奇偶性的定义可知函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]既不是奇函数也不是偶函数．选项A，D中图像表示的函数为奇函数，B中图像表示的函数为偶函数，C中图像表示的函数既不是奇函数也不是偶函数．
[答案] C 【类题通法】
解决函数图像与解析式对应问题的策略
(1)解决此类问题的一般方法是根据图像所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、图像的对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据．
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(2)利用图像确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，实质就是确定其中的参数A，ω，φ.其中A由最值确定；ω由周期确定，而周期由特殊点求得；φ由点在图像上求得，确定φ时，注意它的不唯一性，一般是求|φ|中最小的φ.
【对点训练】
π3π?
函数f(x)＝cos x·|tan x|在区间??2，2?上的大致图像为( )
π3π
? ?3πsin x，π≤x<.?2 π －sin x， 2 题型二、三角函数在物理中的应用 【例2】 单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)π2πt＋?. 的函数关系式为s＝6sin?6?? (1)作出函数的图像； (2)当单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？ (3)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？ (4)单摆来回摆动一次需多长时间？ [解] (1)利用“五点法〞可作出其图像． (2)因为当t＝0时， π s＝6sin＝3， 6 所以此时离开平衡位置3 cm. (3)离开平衡位置6 cm. 2π (4)因为T＝＝1， 2π 所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s. 【类题通法】 三角函数在物理中的应用 . .实用文档. 三角函数模型在物理中的应用主要表达在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法． 【对点训练】 π 100πt＋?来表示，交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝2203sin?求： 6??(1)开始时电压； (2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间． 解：(1)当t＝0时，E＝1103(V)， 即开始时的电压为1103 V. 2π1 (2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02 s. 100π50(3)电压的最大值为2203 V， ππ1 当100πt＋＝，即t＝ s时第一次取得最大值. 62300 题型三、三角函数在实际生活中的应用 【例3】 心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin 160πt，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试答复以下问题： (1)求函数p(t)的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数； (3)画出函数p(t)的草图； (4)求出此人的血压在血压计上的读数． 2π2π1 [解] (1)由于ω＝160π，代入周期公式T＝，可得T＝＝(min)，所以函数p(t)的周 |ω|160π801 期为 min. 80 (2)每分钟心跳的次数即为函数的频率 1 f＝＝80(次)． T(3)列表： t 0 1 320. 1 1603 3201 80
人教A版高中数学必修4第一章 三角函数1.6 三角函数模型的简单应用习题
