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人教版高中数学必修一
————各章节知识点与重难点
第一章集合与函数概念
1.1 集合
1.1.1集合的含义与表示
【知识要点】1、集合的含义
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。2、集合的中元素的三个特性
（1）元素的确定性；2、“属于”的概念
我们通常用大写的拉丁字母
A,B,C, ……表示集合，用小写拉丁字母
a,b,c, ……表示元素
如：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A，如果a不属于集合A 记作aA 3、常用数集及其记法
非负整数集（即自然数集）记作集记作：Q；实数集记作：R 4、集合的表示法
（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。（2）描述法：用集合所含元素的公共特征表示集合的方法称为描述法。
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式（3）图示法（Venn图）
1.1.2 集合间的基本关系
【知识要点】
1、“包含”关系——子集
一般地，对于两个集合
A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合
A为集合B的子集，记作A
B
B的元素，我们就说
这两个集合有包含关系，称集合2、“相等”关系
如果集合A的任何一个元素都是集合
B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合
A
B且B
A
（2）元素的互异性；（3）元素的无序性
：N；正整数集记作：N*或N+ ；整数集记作：Z；有理数
x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2}
A的
元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B3、真子集
如果A
B,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)
只供学习与交流
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4、空集
不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，
空集是任何非空集合的真子集. 1.1.3 集合的基本运算
【知识要点】1、交集的定义
一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A∩B(读作“A交B”)，即A∩B={x| x∈A，且x∈B}．2、并集的定义
一般地，由所有属于集合
A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做
A,B的并集。记作：
A∪B(读作“A并B”)，即A∪B={x | x∈A，或x∈B}．3、交集与并集的性质
A∩A = A，A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A，A∪φ= A , A∪B = B∪A. 4、全集与补集
（1）全集
如果集合U含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。
（2）补集
设U是一个集合，A是U的一个子集（即A（3）性质
CU(C UA)=A，(C UA)∩A=Φ，(C UA)∪A=U；
(C UA)∩(C UB)=C U(A∪B)，(C UA)∪(C UB)=C U(A∩B).
1.2 函数及其表示1.2.1函数的概念
【知识要点】1、函数的概念
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系数．记作：y=f(x)，x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
【注意】
（1）如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；
只供学习与交流
U），由U中所有不属于A的元素组成的集合，
U且xA}
叫做U中子集A的补集（或余集）。记作：CUA ，即CSA ={x | x
f，使对于集合A中的任意一个数x，
在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函
x的值相对应的y值叫做函数
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（2）函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．【定义域补充】
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是（1）分式的分母不等于零；（2）偶次方根的被开方数不小于零；（3）对数式的真数必须大于零;
（4）指数、对数式的底数必须大于零且不等于1.
.那么，它的定义域是使各部分都
（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的
有意义的x的值组成的集合.
（6）指数为零底不可以等于零
（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域.)
2、构成函数的三要素
定义域、对应关系和值域【注意】
（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）
（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
3、相同函数的判断方法
（1）定义域一致；（2）表达式相同(两点必须同时具备)
【值域补充】
（1）函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.
（2）应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。4、区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．
1.2.2函数的表示法
【知识要点】
1、常用的函数表示法及各自的优点
（1）函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据：作垂直于
x轴的直线与曲线最多有一个交点。
（2）函数的表示法
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。
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解析法：必须注明函数的定义域；
图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．【注意】
解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值2、分段函数
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
在不同的范围里求函数值时必须把自变
而应写成函数值几种不同的
（1）分段函数
量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，
表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．注意：各段值域的并集．3、复合函数
是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f是g的复合函数. 4、函数图象知识归纳
（1）定义
在平面直角坐标系中，以函数
y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，
y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象．
C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上. 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }
图象C一般的是一条光滑的连续曲线有一个交点的若干条曲线或离散点组成
（2）画法A、描点法
根据函数解析式和定义域，求出B、图象变换法
常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换（Ⅰ）对称变换
①将y= f(x)在x轴下方的图象向上翻得到
y=∣f(x)∣的图象如：书上P21例5
a与y
x
(或直线),也可能是由与任意平行于Y轴的直线最多只
.
x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相
.
应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来
②y= f(x)和y= f(-x)的图象关于y轴对称。如y③y= f(x)和y= -f(x)的图象关于x轴对称。如y（Ⅱ）平移变换由f(x)得到f(x由f(x)得到f(x)（3）作用
只供学习与交流
a
x
1a
x
logax与ylogaxlog1x
a
a) a
左加右减；上加下减
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A、直观的看出函数的性质；
B、利用数形结合的方法分析解题的思路；C、提高解题的速度；发现解题中的错误。5、映射
定义：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：Ab叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象
【说明】
函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应（1）集合A、B及对应法则f是确定的；
（2）对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；
（3）对于映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合
B中都有象，并且象是唯一的；B中对应的象可以是同一个；
A中都有原象。B”
f，使对于集合
f：A
B
y与之对应，那么就称对应
给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素
（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合6、函数的解析式
（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域
.
（2）求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等A、如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；
B、已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表
达式较简单时，也可用凑配法；
C、若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出
【重点】函数的三种表示法，分段函数的概念，映射的概念
【难点】根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象，映射的概念
1.3函数的基本性质
1.3.1函数单调性与最大（小）值
【知识要点】1、函数的单调性定义
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1 如果对于区间D上的任意两个自变量的值 只供学习与交流 f(x) x1，x2，当x1 f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
人教版高中数学必修一知识点与重难点教学提纲
