第21练 解三角形问题
题型一 活用正、余弦定理求解三角形问题
例1 (1)(2013·辽宁)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos C＋csin 1
Bcos A＝b，且a＞b，则B等于( )
2ππ2π5πA. B. C. D. 6336
(2)在△ABC中，acos A＝bcos B，则△ABC的形状为________．
破题切入点 (1)先由正弦定理对已知三角关系式进行转化，然后利用三角恒等变换公式进行化简，可求得sin B的值，再结合a>b的条件即可判断得出结果．
(2)可以先利用余弦定理将条件化为边的形式，再进行判断；或者先利用正弦定理将条件化为角的形式，再转化判断即可．
答案 (1)A (2)等腰三角形或直角三角形 ac1解析 (1)由条件得sin Bcos C＋sin Bcos A＝，
bb21
依正弦定理，得sin Acos C＋sin Ccos A＝，
211
∴sin(A＋C)＝，从而sin B＝，
22π
又a＞b，且B∈(0，π)，因此B＝. 6(2)方法一 因为acos A＝bcos B，
b2＋c2－a2a2＋c2－b2
所以由余弦定理，得a×＝b×，
2bc2ac
即a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， 所以(a2＋b2－c2)(a2－b2)＝0. 所以a2＋b2＝c2或a＝b.
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形． 方法二 因为acos A＝bcos B，
由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B， 所以sin 2A＝sin 2B. 又A，B为△ABC的内角， 所以2A＝2B或2A＋2B＝π， π
即A＝B或A＋B＝.
2
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．
题型二 正、余弦定理在解决实际问题中的应用技巧
例2 (2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为 123130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量cos A＝，cos C＝.
135
(1)求索道AB的长；
(2)问：乙出发多少min后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 破题切入点 (1)在△ABC中，已知两角及一边长，利用同角三角函数的基本关系式及三角形内角和求得第三个角，再由正弦定理即可求得AB的长；
(2)设出在乙出发t min后甲、乙距离最短时所行走的距离，再利用余弦定理即可求得结果； (3)在△ABC中，利用正弦定理求得BC的长，再分别计算出甲、乙到达C点的时间，然后由甲、乙在C处相互等待不超过3 min为条件列出不等式计算即可求得． 123
解 (1)在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝，
13554
所以sin A＝，sin C＝. 135
从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C) ＝sin Acos C＋cos Asin C 5312463
＝×＋×＝. 13513565ABAC
由正弦定理＝，得
sin Csin B
AC1 2604AB＝×sin C＝×＝1 040(m)．
sin B635
65所以索道AB的长为1 040 m.
(2)假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m，
所以由余弦定理得
12
d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)× 13＝200(37t2－70t＋50)， 1 040
由于0≤t≤，即0≤t≤8，
130
35
故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短．
37BCAC
(3)由正弦定理＝，
sin Asin B
AC1 2605
得BC＝×sin A＝×＝500(m)．
sin B6313
65
乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C. 5007101 250625
设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤v－≤3，解得≤v≤，
504314
1 250625?所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在??43，14?(单位：m/min)范围内．
题型三 解三角形中相关交汇性问题
例3 已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m＝(sin B,1－cos B)
1
与向量n＝(2,0)的夹角θ的余弦值为. 2(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，求a＋c的范围．
破题切入点 (1)根据向量的数量积求两向量的夹角，然后利用同角三角函数关系式及二倍角公式进行恒等变形即可解决问题；
ππ
(2)消元后，利用两角和的正弦公式把sin A＋sin C化为sin(A＋)，并求出sin(A＋)的取值范
33围，再根据正弦定理，求出a＋c的范围，也可以利用余弦定理结合基本不等式求出a＋c的范围．
解 (1)因为m＝(sin B,1－cos B)，n＝(2,0)， 所以m·n＝2sin B.
又|m|＝sin2B＋?1－cos B?2 ＝sin2B＋cos2B－2cos B＋1 ＝2?1－cos B? ＝
BB
4sin2＝2|sin |，
22
Bπ
因为0 22 BB 所以sin >0，因为|m|＝2sin . 22而|n|＝2， m·n2sin B 所以cos θ＝＝ |m|·|n|B 4sin 2BB4sin cos 22B＝＝cos ， B24sin 2B1 即cos ＝. 22Bπ 由0 232π 所以B＝. 3 2ππ (2)方法一 由B＝，得A＋C＝. 33π 所以sin A＋sin C＝sin A＋sin(－A) 3 ππ ＝sin A＋(sin cos A－cos sin A) 3313 ＝sin A＋cos A 22π＝sin(A＋)． 3 πππ2π 又0 3333所以3π 3 ，1]． 2 所以sin A＋sin C∈(由正弦定理，得 acb3＝＝＝＝2， sin Asin Csin B2π sin 3 所以a＋c＝2sin A＋2sin C＝2(sin A＋sin C)． 所以a＋c∈(3，2]． 方法二 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos 2π 3 a＋c2 ＝(a＋c)2－2ac＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－() 23?a＋c?2＝， 4 当且仅当a＝c时，取等号． 所以(a＋c)2≤4，故a＋c≤2. 又a＋c>b＝3，所以3 总结提高 (1)在根据正、余弦定理解三角形问题中，要结合大边对大角进行判断．一般地，斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，有两解，已知大角求小角有一解；在解三角形问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号防止增解等扩大范围的现象． (2)在求解三角形的实际问题时，首先要准确理解题意，分清已知与所求，关注应用题中的有关专业名词、术语，如方位角、仰角、俯角等，其次根据题意画出其示意图，示意图起着关键的作用，再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识，建立数学模型，从而正确求解，演算过程要简练，计算要准确，最后作答．
三角函数与平面向量(4)
