22当a<时，(??,)递减,(,0)递减,(0,??)递减。
aa（2）当a>0时 222x (??,0) (0,) (,??) 0 aaaf?(x) + 0 － 0 + f(x) 增 极大值 减 极小值 增 3243此时，极大值为f(0)?1?,极小值为f()??2?1?.…………7分
aaaa当a<0时 222x (0,??) (,0) (??,) 0 aaaf?(x) － 0 + 0 － f(x) 减 极小值 增 极大值 减 2433此时，极大值为f()??2?1?,极小值为f(0)?1?.因为线段AB与x轴有公共点所以
aaaa2(a?3)(a?4)(a?1)f(0)?f()?0即?0,解得a?[?1,0)?[3,4] 3aa例8、解：（Ⅰ）f?(x)?3x2?2ax?4
411（Ⅱ）由f?(?1)?0得a?,?f(x)?x3?x2?4x?2.f?(x)?3x2?x?4，由f?(x)?0得x?或
3229504509x=?1又f()??,f(?1)?,f(?2)?0,f(2)?0,?f(x)在[-2，2]上最大值，最小值?
2273272（Ⅲ）f?(x)?3x2?f?(?2)?0,?4a?8?0,?2ax?4， 由题意知? ???f(2)?0,?8?4a?0,??2?a?2.?????6?a?6,2a??2??2,?6?22例9、解：（I）设切点P(x?,y?)?f?(x)?3x?2ax?b|x?x??0, ?3x??2ax??b?0,因为存在极
222值点，所以??4a?12b?0，即a?3b。（II）因为x??1，x?3是方程f?(x)?3x?2ax?b?0的根，
所以a?3,b??9，?f(x)?x3?3x2?9x?c。
2?f?(x)?3x?6x?9?3(x?1)(x?3),?f?(x)?0,x?3,x??1；?f?(x)?0,?1?x?3?f(x)在x??1处取得极大值，在x?3处取得极小值. ?函数图像与x轴有3个交点，??f(?1)?0，
??f(3)?0?c?(?5,27)
例10解：（Ⅰ）设f(x)?ax3?bx2?cx?d(a?0) Q其图像关于原点对称，即f(?x)??f(x) 得
?ax3?bx2?cx?d??ax3?bx2?cx?d∴b?0 d?0， 则有 f(x)?ax3?cx 由
31?1??1?1f?(x)?3ax2?c ， 依题意得 f????0∴a?c?0① ，f???a?c??1② 由①②
24?2??2?81得 a?4,c??3 故所求的解析式为：f(x)?4x3?3x.（Ⅱ）由f?(x)?12x2?3?0解得：x?211或x?? ，Q(1,??)?(,??) ∴x?(1,??)时，函数f(x)单调递增；设?x1,y1?,?x2,y2?是
22
11
x?(1,??)时，函数f(x)图像上任意两点，且x2?x1，则有y2?y1∴过这两点的直线的斜率
y?y1k?2?0.
x2?x1例11、解：（1）?f'(x)?3ax2?b的最小值为?12,?b??12,且a?0.(3')又直线6x?y?7?0的斜率为?6,因此f'(1)?3a?b??6,?a?2,b??12.(6') （2）由（1）知f(x)?2x3?12x,?f'(x)?6x2?12?6(x?2)(x?2)，列表如下：
x f′ f（x） (??,?2) ?2 (?2,2) + 0 极大值 － 2 0 极小值 (2,??) +
所以，函数f（x）的单调增区间是(??,?2)和(2,??)
?f(?1)?10,f(2)??82,f(3)?18,f(x)在x??2上的极大值是f(?2)?82, f(x)在x?2上的极小值是f(2)??82.?当m?82,或m??82时,方程有一根;当m?82,或m??82时,方程有二根;当?82?m?82时,方程有三根.(12')
例12、解：（1）由f(0)?1得c=1
f(x)?x3?3x?1
?f'(?1)?3a?b?0，得a?1,b??3∴f(x)?3ax?b,??f(?1)??a?b?1?3'2
（2）f'(x)?3(x?1)(x?1)得x??1，x?1时取得极值.由?1?(t,t?3)，1?(t,t?3) 得
1?2?t??1.∴M?(?2,?1).g(x)?f(x)?x2?1?3，g'(x)?2x?2，∴当x?M时，
xxx1f(x)g'(x)?0， ∴g(x)在M上递减. 又g(?2)?,g(?1)??3∴函数g(x)?,x?M的零
2x点有且仅有1个
例13、解：（I）f?(x)?3kx2?6(k?1)x 又?f?(4)?0,?k?1（II）?f?(t)?3t2?12t??1?t?0时f?(t)?0;0?t?1时f?(t)?0。
8a?258a?2515f(?1)??5,f(1)??3,?f(t)??5?2x2?5x?a????5解得a?? 8883a?2b?1?0,解得例14、解：（Ⅰ）f?(x)?3ax2?2bx?1， 依题意f?(1)?f?(2)?0，即???12a?4b?1?0,1313由（Ⅰ）知，曲线y?f(x)与g(x)??3x?m(?2?x?0)a??,b?∴f(x)??x3?x2?x（Ⅱ）
646413有两个不同的交点，即x3?x2?2x?m?0在??2,0?上有两个不同的实数解。设
641313?(x)?x3?x2?2x?m，则??(x)?x2?x?2， 由??(x)?0的x?4或x??1，当x?(?2,?1)6422时??(x)?0，于是?(x)在??2,?1?上递增；当x?(?1,0)时??(x)?0，于是?(x)在??1,0?上递减. 依
1?m??3?(?2)?0???题意有?1313∴实数m??0?m???(?1)?0??m?1212??(0)?0?m?0????的取值范围是0?m?13. 12例15、解：⑴f '(x)＝3x2＋2bx＋c，由题知f '(1)＝0?3＋2b＋c＝0，f(1)＝－1?1＋b＋c＋2
322
＝－1∴b＝1，c＝－5，f(x)＝x＋x－5x＋2，f'(x)＝3x＋2x－5
12
f(x)在[－，1]为减函数，f (x)在(1，＋∞)为增函数∴b＝1，c＝－5符合题意 ⑵即方程：x2?x?5?k?2恰有三个不同的实解：x3＋x2－5x＋2＝k(x≠0) x5353即当x≠0时，f (x)的图象与直线y＝k恰有三个不同的交点，由⑴知f (x)在[??,?]为增函数，
532292∴?1?k?且k≠2
27f (x)在[?,1]为减函数，f (x)在(1，＋∞)为增函数，又f(?)?53229，f (1)＝－1，f (2)＝27
例16、解：（1）由题意 f?(x)?x2?2x?a ?当x?1?2时，f(x)取得极值， ?所以
f?(1?2)?0 ?1?2??2?21?2?a?0 ?即 a??1
?? 此时当x?1?2时，f?(x)?0，当x?1?2时，f?(x)?0，
f(1?2)是函数f(x)的最小值。
11（2）设f(x)?g(x)，则 x3?x2?3x?b?0，b?x3?x2?3x……8分
331 设F(x)?x3?x2?3x，G(x)?b F?(x)?x2?2x?3，令F?(x)?x2?2x?3?0解得x??1或x?3列表
3如下： x (3,4) 4 (?3,?1) ?1 (?1,3) 3 ?3
F?(x) ? 0 __ 0 +
520F(x) ?9 ? ?9 3 3
?函数F(x)在(?3,?1)和(3,4)上是增函数，在(?1,3)上是减函数。
5当x??1时，F(x)有极大值F(?1)?；当x?3时,F(x)有极小值F(3)??9
3?函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点，?函数F(x)与G(x)的图象有两个公共点
205205 ???b? 或 b??9 ?b?(?,)???9?
3333题型三答案： 例17、解：（1）由题意得：f'(x)?3ax2?2bx?c?3a(x?1)(x?3),(a?0)
∴在(??,1)上f'(x)?0；在(1,3)上f'(x)?0；在(3,??)上f'(x)?0 因此f(x)在x0?1处取得极小值?4
∴a?b?c??4①，f'(1)?3a?2b?c?0②，f'(3)?27a?6b?c?0③
?a??1?由①②③联立得：?b?6，∴f(x)??x3?6x2?9x
?c??9?（2）设切点Q(t,f(t))，y?f(t)?f,(t)(x?t)
y?(?3t2?12t?9)(x?t)?(?t3?6t2?9t)
?(?3t2?12t?9)x?t(3t2?12t?9)?t(t2?6t?9) ?(?3t2?12t?9)x?t(2t2?6t)过(?1,m) m?(?3t2?12t?9)(?1)?2t3?6t2
13
g(t)?2t3?2t2?12t?9?m?0
令g'(t)?6t2?6t?12?6(t2?t?2)?0，
求得：t??1,t?2，方程g(t)?0有三个根。
?g(?1)?0??2?3?12?9?m?0?m?16需：? ????g(2)?016?12?24?9?m?0m??11???故：?11?m?16；因此所求实数m的范围为：(?11,16)
例18、解：（1）∵函数f(x)在x?2时取得一个极值，且f?(x)?3x2?2ax?4，
?f?(2)?12?4a?4?0，?a?2 ?f?(x)?3x2?4x?4?(3x?2)(x?2)． 222?x??或x?2时，f?(x)?0,x??或x?2时，f?(x)?0,??x?2时，
33322f?(x)?0， ?f(x)在(??,?],[2,??)上都是增函数，在[?,2]上是减函数． ∴使f(x)332在区间[t,2]上是单调函数的t的取值范围是[?,2)
32?4x0?4，（2）由（1）知f(x)?x3?2x2?4x．设切点为P(x0,y0)，则切线的斜率k?f?(x0)?3x0322?2x0?4x0)?(3x0?4x0?4)(x?x0)． 所以切线方程为：y?(x0将点A(2,c)代人上述方程，整理得：
322x0?8x0?8x0?8?c?0．
32?8x0?8x0?8?c?0有三个 ∵经过点A(2,c)(c??8)可作曲线y?f(x)的三条切线，∴方程2x032?8x0?8x0?8?c，则 不同的实根． 设g(x0)?2x02222 g?(x0)?6x0在(,2)上单调递减，?16x0?8?0?x0?或x0?2，g(x0)在(??,)上单调递增，3332?g?g()?0,280??c??8． 在(2,??)上单调递增， 故?极大 得：?327?g极小?g(2)?0,?题型四答案： 例19、解：（1）根据导数的几何意义知f(x)?g`(x)?x2?ax?b由已知-2，4是方程x2?ax?b?0的
??2?4??a?a??2两个实根由韦达定理，? ∴?，f(x)?x2?2x?8
0 ??2?4??b?b?8（2）g(x)在区间??1,3?上是单调递减函数，所以在??1,3?区间上恒有 3 f(x)?g`(x)?x2?ax?b?0，即f(x)?x2?ax?b?0在??1,3?区间上恒成立 n 2 ?f(?1)?0?a?b?1?a?b?122这只需满足?即可，也即?而a?b可视为平面区域?内的点到原点距
f(3)?0b?3a?9b?3a?9????a??2离的平方由图知当?时，a2?b2有最小值13；
?b?31例20、解：（1）?f(x)?x3?ax2?bx ?f?(x)?x2?2ax?b由题意得
31?2a?4??411??111?a??1,b?3 f?(x)??4且f(1)?????a?b??3?3?31?f(x)?x3?x2?3x f?(x)?(x?1)(x?3)令f?(x)?0得x1??1,x2?3
3由此可知
14
x f?(x) (??,?1) +
－1 0
(?1,3) －
3 0
(3,??) +
5极大值 ↘
35?当x??1时f(x)取极大值
3（2）?y?f(x)在[?1,2]上是减函数
?f?(x)?x2?2ax?b?0在[?1,2]上恒成立 ?f?(?1)?0?1?2a?b?0?2a?b?1?0 ????即??f?(2)?0?4?4a?b?0?4a?b?4?0f(x)
↗ 极小值－9 ↗
yP1O1x作出不等式组表示的平面区域如图
13当直线z?a?b经过点P(?,2)时 z?a?b取最小值
22例21、解：(I)由图象在(2,f(2))处的切线与x轴平行，
知f?(2)?0，∴n??3m① …………3分 又n?m，故n?0，m?0. ………… 4分 (II)令f?(x)?3mx2?2nx?3mx2?6mx?0, 得x?0或x?2 …………………… 6分
易证x?0是f(x)的极大值点，x?2是极小值点（如图）. ………… 7分 令f(x)?f(0)?0，得x?0或x?3. …………………………………………8分 分类：(I)当0?m?3时，f(x)max?f(0)?0，∴m?n2?0 . ②
1由①，②解得m?，符合前提0?m?3 .
9(II)当m?3时，f(x)max?f(m)?m4?m2n,∴m4?m2n?m?n2. ③
由①，③得 m3?3m2?9m?1?0 . 记g(m)?m3?3m2?9m?1, ∵g?(m)?3m2?6m?9?3(m?1)2?6?0,
∴g(m)在R上是增函数，又m?3，∴g(m)?g(3)?26?0,
1∴g(m)?0在?3,???上无实数根.综上，m的值为m?.
9题型五答案：
a例22、解：（Ⅰ）f?(x)?1?2，由导数的几何意义得f?(2)?3，于是a??8．由切点P(2,f(2))在
x直线y?3x?1上可得?2?b?7，解得b?9．
8所以函数f(x)的解析式为f(x)?x??9．
xa（Ⅱ）解：f?(x)?1?2．
x当a?0时，显然f?(x)?0（x?0）．这时f(x)在(??,0)，(0,??)上内是增函数． 当a?0时，令f?(x)?0，解得x??a．
当x变化时，f?(x)，f(x)的变化情况如下表： x (??,?a) ?a (?a,0) (0,a) a f?(x) ＋ 0 － － 0 f(x) ↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值
15
(a,??)
＋ ↗
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