导数解答题题型分类之拓展篇（一）
编 制:王 平 审 阅：朱 成 2014-05-31
题型一：最常见的关于函数的单调区间；极值；最值；不等式恒成立；
经验1：此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：
第一步：令f'(x)?0得到几个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知；
经验2：不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）；题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）； 第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）； 第三种：关于二次函数的不等式恒成立； 第四种：构造函数求最值；题型特征（f(x)?g(x)恒成立?h(x)?f(x)?g(x)?0恒成立）；参考例4；
1例1.已知函数f(x)?x3?bx2?2x?a，x?2是f(x)的一个极值点．
32（Ⅰ）求f(x)的单调递增区间；（Ⅱ）若当x?[1, 3]时，f(x)?a2?恒成立，求a的取值范围．
3
2x2,g(x)?ax?5?2a(a?0)。 例2.设f(x)?x?1（1）求f(x)在x?[0,1]上的值域；
（2）若对于任意x1?[0,1]，总存在x0?[0,1],使得g(x0)?f(x1)成立,求a的取值范围。
1
例3.已知函数f(x)?x3?ax2图象上一点P(1,b)的切线斜率为?3，
t?62g(x)?x3?x?(t?1)x?3(t?0)
2（Ⅰ）求a,b的值； （Ⅱ）当x?[?1,4]时，求f(x)的值域；
（Ⅲ）当x?[1,4]时，不等式f(x)?g(x)恒成立，求实数t的取值范围。
例4.已知定义在R上的函数f(x)?ax3?2ax2?b在区间??2,1?上的最大值是5，最小值是（a?0）－11.
（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；（Ⅱ）若t?[?1,1]时，f?(x）?tx?0恒成立，求实数x的取值范围.
x3210例5.已知函数f(x)?2图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数
5a3bx2g(x)?f(x)?2?3．
a（1） 若函数g(x)在x?1处有极值，求g(x)的解析式；
（2） 若函数g(x)在区间[?1,1]上为增函数，且b2?mb?4?g(x)在区间[?1,1]上都成立，求实数
m的取值范围．
2
题型二：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x轴即方程根的个数问题；
经验1：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种：
第一种：转化为恒成立问题即f'(x)?0或f'(x)?0在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（看是否在0的同侧），如果是同侧则不必分类讨论；若在0的两侧，则必须分类讨论，要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变！有时分离变量解不出来，则必须用另外的方法； 第二种：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；参考08年高考题； 第三种方法：利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置；可参考第二次市统考试卷；
特别说明：做题时一定要看清楚“在（a,b）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别；
经验2：函数与x轴即方程根的个数问题解题步骤 第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；
第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系； 第三步：解不等式（组）即可；
(k?1)211例6．已知函数f(x)?x3?x，g(x)??kx，且f(x)在区间(2,??)上为增函数．
323（1）求实数k的取值范围；（2）若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围．
3例7.已知函数f(x)?ax3?3x2?1?.
a （I）讨论函数f(x)的单调性。
（II）若函数y?f(x)在A、B两点处取得极值，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值
范围。
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例8．已知函数f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，其中a为实数．
(Ⅰ)求导数f?(x)；(Ⅱ)若f?(－1)＝0，求f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值； (Ⅲ)若f(x)在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都是递增的，求a的取值范围
例9.已知：函数f(x)?x3?ax2?bx?c
（I）若函数f(x)的图像上存在点P，使点P处的切线与x轴平行，求实数a,b 的关系式； （II）若函数f(x)在x??1和x?3时取得极值且图像与x轴有且只有3个交点，求实数c的取值范围.
1例10．设y?f(x)为三次函数，且图像关于原点对称，当x?时，f(x) 的极小值为?1．
2（Ⅰ）求f(x)的解析式；（Ⅱ）证明：当x?(1,??)时，函数f(x)图像上任意两点的连线的斜率恒大于0．
例11．在函数f(x)?ax3?bx(a?0)图像在点（1，f（1））处的切线与直线6x?y?7?0.平行，
导函数f'(x)的最小值为－12。（1）求a、b的值；（2）讨论方程f(x)?m解的情况（相同根算一根）。
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导数解答题题型分类之拓展篇（二）
编 制:王 平 审 阅：朱 成 2014-06-01
例12．已知定义在R上的函数f(x)?ax3?bx?c(a,b,c?R)，当x??1时，f(x)取得极大值3，
f(0)?1.
（Ⅰ）求f(x)的解析式；（Ⅱ）已知实数t能使函数f(x)在区间(t,t?3)上既能取到极大值，又能
f(x)取到极小值，记所有的实数t组成的集合为M.请判断函数g(x)?(x?M)的零点个数.
x
例13.已知函数f(x)?kx3?3(k?1)x2?2k2?4,若f(x)的单调减区间为（0，4） （I）求k的值；
（II）若对任意的t?[?1,1],关于x的方程2x2?5x?a?f(t)总有实数解，求实数a的取值范围。
例14.已知函数f(x)?ax3?bx2?x(x?R,a,b是常数)，且当x?1和x?2时，函数f(x)取得极值. （Ⅰ）求函数f(x)的解析式；（Ⅱ）若曲线y?f(x)与g(x)??3x?m(?2?x?0)有两个不同的交点，求实数m的取值范围.
例15.已知f (x)＝x3＋bx2＋cx＋2．
⑴若f(x)在x＝1时有极值－1，求b、c的值； ⑵若函数y＝x2＋x－5的图象与函数y＝
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k?2的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围． x
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