中考二次函数综合压轴题型归类
一、常考点汇总
1、两点间的距离公式:AB??yA?yB?2??xA?xB?2
?xA?xByA?yB?,? 22??2、中点坐标:线段AB的中点C的坐标为:? 直线y?k1x?b1(k1?0)与y?k2x?b2(k2?0)的位置关系:
(1)两直线平行?k1?k2且b1?b2 (2)两直线相交?k1?k2 (3)两直线重合?k1?k2且b1?b2 (4)两直线垂直?k1k2??1
3、一元二次方程有整数根问题,解题步骤如下:
① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围;
② 解方程,求出方程的根;(两种形式:分式、二次根式)
③ 分析求解:若是分式,分母是分子的因数;若是二次根式,被开方式是完全平方式。 例:关于x的一元二次方程x-2?m?1?x?m=0有两个整数根,m<5且m为整数,求m的值。
22
4、二次函数与x轴的交点为整数点问题。(方法同上)
例:若抛物线y?mx??3m?1?x?3与x轴交于两个不同的整数点,且m为正整数,试确定
2此抛物线的解析式。
5、方程总有固定根问题,可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下:
已知关于x的方程mx?3(m?1)x?2m?3?0(m为实数),求证:无论m为何值,方程总有一个固定的根。
解:当m?0时,x?1;
当m?0时,???m?3??0,x?223?m?1???3,x1?2?、x2?1;
2mm综上所述:无论m为何值,方程总有一个固定的根是1。
6、函数过固定点问题,举例如下:
已知抛物线y?x?mx?m?2(m是常数),求证:不论m为何值,该抛物线总经过一个固定的点,并求出固定点的坐标。
解:把原解析式变形为关于m的方程y?x?2?m?1?x?;
22? y?x2?2?0? y??1∴ ?,解得:?;
x?1 1?x?0??∴ 抛物线总经过一个固定的点(1,-1)。
(题目要求等价于:关于m的方程y?x?2?m?1?x?不论m为何值,方程恒成立)
2? a?0小结:关于x的方程ax?b有无数解??
b?0?
7、路径最值问题(待定的点所在的直线就是对称轴)
(1)如图,直线l1、l2,点A在l2上,分别在l1、l2上确定两点M、N,使得AM?MN之和最小。
(2)如图,直线l1、l2相交,两个固定点A、B,分别在l1、l2上确定两点M、N,使得
BM?MN?AN之和最小。
(3)如图,A、B是直线l同旁的两个定点,线段a,在直线l上确定两点E、F(E在F的左侧 ),使得四边形AEFB的周长最小。
8、在平面直角坐标系中求面积的方法:直接用公式、割补法
三角形的面积求解常用方法:如右图,S△PAB=1/2 ·PM·△x=1/2 ·AN·△y
9、函数的交点问题:二次函数(y=ax+bx+c)与一次函数(y=kx+h)
2? y=ax2+bx+c (1)解方程组?可求出两个图象交点的坐标。
? y=kx+h? y=ax2+bx+c2 (2)解方程组?,即ax+?b-k?x+c-h=0,
? y=kx+h通过?可判断两个图象的交点的个数 有两个交点 ? ?>0 仅有一个交点 ? ??0 没有交点 ? ?<0
10、方程法
(1)设:设主动点的坐标或基本线段的长度
(2)表示:用含同一未知数的式子表示其他相关的数量 (3)列方程或关系式 11、几何分析法
特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时,利用几何分析法能给解题带来方便。
几何要求 跟平行有关的图形 平移 勾股定理逆定理 利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等 利用几何中的全等、中垂线的性质等。 利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等 几何分析 涉及公式 应用图形 平行四边形 矩形 梯形 直角三角形 直角梯形 矩形 等腰三角形 全等 等腰梯形 y?y2l1∥l2?k1=k2、k?1 x1?x2跟直角有关的图形 AB??yA?yB?2??xA?xB?2 ?yA?yB?2??xA?xB?2 跟线段有关的图形 跟角有关的图形 AB?
【例题精讲】
一 基础构图:
y B O C D A x y=x?2x?3(以下几种分类的函数解析式就是这个)
2★和最小,差最大 在对称轴上找一点P,使得PB+PC的和最小,求出P点坐标
在对称轴上找一点P,使得PB-PC的差最大,求出P点坐标
y ★求面积最大 连接AC,在第四象限找一点P,使得?ACP面积最大,求出P坐标
B O C D y A x ★ 讨论直角三角 连接AC,在对称轴上找一点P,使得?ACP为直角三角形,
求出P坐标或者在抛物线上求点P,使△ACP是以AC为直角边的直角三角形.
B O C D A x ★ 讨论等腰三角 连接AC,在对称轴上找一点P,使得?ACP为等腰三角形,
求出P坐标
y ★ 讨论平行四边形 1、点E在抛物线的对称轴上,点F在抛物线上,
且以B,A,F,E四点为顶点的四边形为平行四边形,求点F的坐标
二 综合题型
2B O C D A x 例1 (中考变式)如图,抛物线y??x?bx?c与x轴交与A(1,0),B(-3,0)两点,顶点为D。交Y轴于C
(1)求该抛物线的解析式与△ABC的面积。
(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M,使△MBC是以∠BCM为直角的直角三角形,若存在,求出点P的坐标。若没有,请说明理由
(3)若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点(不与A、B重合),过E作EF与X轴垂直,交BC于F,设E点横坐标为x.EF的长度为L,
求L关于X的函数关系式?关写出X的取值范围?
当E点运动到什么位置时,线段EF的值最大,并求此时E点的坐标?
(4)在(5)的情况下直线BC与抛物线的对称轴交于点H。当E点运动到什么位置时,以点E、F、H、D为顶点的四边形为平行四边形?
(5)在(5)的情况下点E运动到什么位置时,使三角形BCE的面积最大?
例2 考点: 关于面积最值 -3),点B在x轴上.已知某如图,在平面直角坐标系中,点A、C的坐标分别为(-1,0)、(0,
二次函数的图象经过A、B、C三点,且它的对称轴为直线x=1,点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点(点P与B、C不重合),过点P作y轴的平行线交BC于点F. (1)求该二次函数的解析式;
(2)若设点P的横坐标为m,试用含m的代数式表示线段PF的长; (3)求△PBC面积的最大值,并求此时点P的坐标.
A O C F B x y
最新中考数学二次函数压轴题题型归纳
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