马鞍山红星中学科学创实验班选拔考试数学
内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
2015
年马鞍山市红星中学科学实验班选拔考试
数 学
【注意事项】
1.本试卷共4页，总分150分，答题时长150分钟，请掌握好时间。 2.请将自己的姓名、准考证号用钢笔或圆珠笔填写在答题卷的相应位置上。 3.考生务必在答题卷上答题，在试卷上作答无效。考试结束后，请将试卷和答题卷一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1、一组数据：3，4，5，x，8，12的众数是4，则这组数据的平均数是（ ） A．4
B. 5
C. 6 D．7
2、给定下列命题：①三点确定一个圆；②平分弦的直径垂直于该弦，并且平
分该弦所对的两条弧；③对角线相等的四边形是矩形；④如果顺次连接梯形四条边中点所得的图形是菱形，那么这个梯形是等腰梯形。其中真命题的个数是（ ）.
A．0个 B. 1个 C. 2个 个
3、如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为( )． A．（4，3） B（5，3） C.(6,2)
D.(6,3) D. 3
4、当－2?x?2时，二次函数y＝ax2＋2ax＋1的最大值为４，则a的值为
（ ）
3
A．－3或
8
2
x+3
B． －
32C．1 D．－3
5、方程(x+x-1)=1的所有整数解的和是（ ） （第3题） A．－5
B. 4 C. －3 D. 2
6、相邻两边不等的长方形ABCD，中心为O,在由A，B，C，D，O五个点中取三个点构成的 所有三角形中，任取两个三角形，面积相等的概率为（ ） A． B．7、若
C． D．
abc???t，则一次函数y?tx?t2的图象必定经过的象限是b?cc?aa?b（ ）
A. 第一、二象限 B. 第一、二、三象限 C. 第二、三、四象 D. 第三、四象限
8、如图，线段AC=n+1（其中n 为正整数），点B在线段AC 上，在线段AC 同侧作正方形ABMN 及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME,当AB=1 时，△AME的面积记为S1；当AB=2 时，△AME的面积记为S2；当AB=3 时，△AME的面积记为S3；…当AB=n 时，△AME的面积记为Sn．当n≥2 时，Sn－Sn?1= ( )
n2n?12n?1A. B. C. n D.
2229、如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上,点D在BC 边上，且ED=CE,若△ABC的边长AB=4，AE=2，则BD的长为（ ）
A．2 B．3 C．3 D．3 +1
10、二次函数y?ax2?bx?c的图象如图所示，Q(n,2)是图象上的一点，且AQ?BQ，则a的值为（ ）
A. ? B. ? C. －1 －2
1312D.
（第8题） （第9题） （第10题）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11、在△ABC中，AB=5，中线AD=7，则AC边的取值范围是 12、实数a,b,c满足a2?6b??17,b2?8c??23,c2?2a?14,则a+b+c= 13、如图，在△ ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA，CB 分别相交于点P，Q，则线段PQ 长度的最小值是______ 14、任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[3]=1，现对72进行如下操作：72 []=2
[
]=8
[]=1，这样对72只需进行3次操作后变
为1，类似同样方法操作：只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的数是_ （第13题） 15、如图，直线y=－x+b 与双曲线y?1x（x＞0）交于A、
B 两点，与x 轴、y 轴分别交于E、F 两点，连接OA、OB，若S△ AOB=S△OBF+S△OAE， 则b=______
三、解答题（本大题共6小题，共75分）
16、（本题满分10分）化简和解方程: （第15题）
(1)（本小题满分5分）化简：(2)（本小题满分5分）解方程x?
5?33?22(5?3)(3?2)
x1?2?x1?2?3?...?x1?2?3?...?2015?2015
17、（本题满分12分）已知反比例函数y=，现有透明的矩形纸片ABCD，BC=2AB，把这矩形纸片放置在x轴上方并沿x轴向右平移。
（1）如图1，当矩形的右上顶点D在函数y=的图象上时，求阴影部分的面积；
（2）如图2，若函数y= 的图象同时经过矩形的左顶点A和中心E，求矩形的边长。
18、（本题满分12分）已知x1,x2是一元二次方程4kx2?4kx?k?1?0的两个实数根。
（1）是否存在实数k，使(2x1?x2)(x1?2x2)??成立若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由; （2）求使
x1x2??2的值为整数的实数k的整数值。 x2x13219．（本题满分14分）如图，BC是⊙O的直径，点A在圆上，且AB=AC=4．P为AB上一点，过P作PE⊥AB分别交BC、OA于E、F。 （1）设AP=1，求△OEF的面积；
（2）设AP=a（0＜a＜2），△APF、△OEF的面积分别记为S1、S2． ①若S1=S2，求a的值；
②若S=S1+S2，是否存在一个实数a，使S＜存在，说明理由。
20．（本题满分14分） 如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB 。 （1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
若存在，求出一个a的值；若不
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