2024年高考数学导数压轴题每日一题
例2已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，
且在点P处有相同的切线y＝4x+2（新课标Ⅰ卷） （Ⅰ）求a，b，c，d的值 （Ⅱ）若x≥－2时,
f(x)?kg(x)，求k的取值范围。
例2（Ⅰ）由已知得f(0)?2,g(0)?2,f?(0)?4,g?(0)?4，
而f?(x)=2x?b，g?(x)=e(cx?d?c)，∴a=4，b=2，c=2，d=2；……4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)?x?4x?2，g(x)?2e(x?1)， 设函数F(x)=kg(x)?f(x)=2ke(x?1)?x?4x?2（x??2），
x22xxF?(x)=2kex(x?2)?2x?4=2(x?2)(kex?1)，
有题设可得F(0)≥0，即k?1， 令F?(x)=0得，x1=?lnk，x2=－2，
2,??)时，（1）若1?k?e，则－2＜x1≤0，∴当x?(?2,x1)时，F(x)＜0，当x?(x1F(x) ＞0，即F(x)在(?2,x1)单调递减，在(x1,??)单调递增，故F(x)在x=x1取最小值F(x1)， 而F(x1)=2x1?2?x12?4x1?2=?x1(x1?2)≥0，
∴当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立，
2(2)若k?e，则F?(x)=2e(x?2)(e?e)，
2x2∴当x≥－2时，F?(x)≥0，∴F(x)在(－2,+∞)单调递增，而F(?2)=0， ∴当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立， (3)若k?e，则F(?2)=?2ke2?2?2=?2e?2(k?e2)＜0，
∴当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立， 综上所述，k的取值范围为[1,e].
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2024年高考数学导数压轴题每日一题 (2)
