基于FFT的傅里叶算法在微机继电保护中的应用
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■ — = n = K N
= - H： ZZB ■ H： —
在微机继电保护中，有两种形式的滤波器可供选择：
一种是模拟滤波器，另一种是数字滤波
高灵活性和高稳定性以及便于时
器。同模拟滤波器相比，由于数字滤波器具有“高精确性、
分复用” ［1］等优点，因此目前所研制的电力监控产品中，绝大多数都用到数字滤波算法。 其中傅里叶算法因能够有效地去除直流分量和谐波干扰， 量，所以被广泛地应用于谐波分析中。
FFT由于具有原位性，计算量较小并且易于流水线操作等特点，所以非常适合用数字信 号处理器（DSPs）进行处理。我们可以通过一定的转换和计算， 用FFT来实现傅里叶算法， 可 以大大减小运算量，而且使其更易于通过 1傅里叶算法的应用
傅里叶算法的基本思想源于傅里叶级数。 该算法假设输入信号为一周期性信号，即输入 信号中除基频分量外，只包含恒定的直流分量和各种整次谐波分量。 此时电压（电流）输入信 号可表示为：
DSPs实现。
并且可以有选择地单独计算谐波分
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也可以合并为：
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式中：T1为周期信号的周期，CO为直流分量，ck为k次谐波的幅值, k次谐波的有效值。
对于周期连续信号 x（t），式（2）和式（3）的积分可用梯形法则［1］求
得:
2 - X' 壬2-A HEJLL A 5
其中：N为一周期内采样的点数；x（n）为第n次采样值，n=0,1,2,…,N -1。
当输入为电压（电流）信号时，由式（4）、（5）、（6）、（7）得出的ck和0 k分别对应着电 压（电流）的k次谐波的幅值 流）的k次谐波的有效值。
在此基础上还可以计算出
k次谐波的有功功率 Pk,无功功率 Qk视在功率Sk[2]。 Uk （Ik）,和k次谐波的相位 0 uk（ 0 ik ）,由此可计算出电压（电
（A = - % ）
同M也町tui?鼻卅A次潸彼的电ua屯板）育 仃率\妆1（\阳I）
同理也可以算出电压（电流）谐波总畸变率 THDu（THDi）
nn, = —2 X 1 厲】％
2基于FFT的傅里叶算法的实现
在傅里叶算法中，每计算 1次ak或bk就要计算1次式（6）或（7），很不方便；而且当需 要计算的谐波次数很高时， 就会造成很大的计算量。 为了克服这些缺点， 可以利用傅里叶级 数和离散傅里叶变换的关系，通过 FFT代替梯形法则（式⑹、（7））来计算ak和bk。
离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）实质上是同种变换，FFT只不过是利用 DFT系数e-j（2 n /N）nk的对称性、周期性和可约性等性质将长序列的 序列的DFT计算，然后再按一定规则将其合并，从而得到整个的 实际上就是对DFT的研究。 根据离散傅里叶变换有
DFT分解为若干个短
DFT因此对FFT的研究,
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将x(t)表示成傅里叶级数的指数形式
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｛阳出叶ft数形式利二ffl仍成」的養系孑】:
根据傅里叶级数性质不难得到:
{i.b
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DFT联系起来, 就需要在时域内对 x(t)进行抽样,
抽样间隔为T。一周期内的抽样点数为 N贝y卜^『
要将连续的周期信号的傅里叶级数和
根据信号的时域和频域的对称关系,
当信号在时域中被抽样后，其频域内的频谱以抽样频率
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A=0」.2 ?…斗-I.
一心他）=它朋呛的）二护曲 （17）
式（17）表明了连续的周期信号被抽样后其离散傅里叶变换序列和傅里叶级数系数序列 的关系。
比较式（12）和（17），可得：
卞 m ” H = - 1nl| 寺 I ( 4 )
可以看出ak和bk分别与X（k）的实部和虚部相对应（不是相等）。 将式（17）带入式（13）、（14）得:
号
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==I 门的 II = V +慣 A
岁I A ( Ar| > =二
得到了 ck和0 k,就可以按照1中所介绍的公式进行功率计算和谐波分析了。 3采样点数N的选择
在现场测量中，要得到精确的计算结果，采样频率的选择很重要。如果采样频率过高， 虽提高了计算精度，但增加了计算量，会影响到实时性 的混叠，而无法如实地反映出原来的信号。
对于一般的连续信号，根据时域抽样定理，应有
；如果采样频率过低，会造成其频域
其中：fs为采样频率，fm为奈奎斯特频率，但是对于正弦信号，由于其频谱是谱线 在
± fO处的5函数），既不能简单地视为带限信号，也不能简单地视为窄带信号。当其初相
（
0不确定时，若选取fs=2fm，有可能导致波形的严重失真。
对于正弦信号
傅立叶变换.
