线交抛物线y?22x于P，Q两点. 3（Ⅰ）求证：∠ABP=∠ABQ； （Ⅱ）若点A的坐标为（0，1）， 且∠PBQ=60o，试求所有满足条件的 直线PQ的函数解析式.
解：（Ⅰ）如图，分别过点P， Q作y轴的垂线，垂足分别为C， D. 设点A的坐标为（0，t），则点B的坐标为（0，-t）. 设直线PQ的函数解析式为y?kx?t,
（xQ，yQ）（xP，yP）并设P，Q的坐标分别为 ,.
?y?kx?t，22?由?22 得x?kx?t?0，
y?x，3?3?于是 xPxQ??t，即 t??xPxQ.于是，
3223222222xP?tx?xxxP(xP?xQ)PPQBCyP?t3x333??????P. …………5分
2BDyQ?t2x2?t2x2?2xxxQxQ(xQ?xP)QPQQ3333又因为
xPCBCPC??P，所以?. QDxQBDQD 因为∠BCP?∠BDQ?90?，所以△BCP∽△BDQ.
故∠ABP=∠ABQ. …………………………………………………………10分
（Ⅱ）解法一 设PC?a，DQ?b，不妨设a≥b>0， 由（Ⅰ）可知
∠ABP=∠ABQ?30?，BC=3a，BD=3b， 所以 AC=3a?2，AD=2?3b. 因为PC∥DQ，所以△ACP∽△ADQ.
于是
a3a?2PCAC，即?．所以a?b?3ab． ?b2?3bDQAD由（Ⅰ）中xPxQ??t，即?ab??于是，可求得a?2b?3 . 323333，，所以ab?，a?b?
222将b?3312代入y?x2，得到点Q的坐标（，）. …………………15分
22323 . 3再将点Q的坐标代入y?kx?1，求得k??所以直线PQ的函数解析式为y??根据对称性知，
所求直线PQ的函数解析式为y??3x?1. 333x?1，或y?x?1. ………………20分 33解法二 设直线PQ的函数解析式为y?kx?t,其中t?1. 由（Ⅰ）可知，∠ABP=∠ABQ?30?，所以BQ?2DQ. 故 2xQ?将yQ?2xQ?(yQ?1)2. 22xQ代入上式，平方并整理得 342224xQ?15xQ?9?0，即(4xQ?3)(xQ?3)?0.
所以 xQ?3或3. 2又由（Ⅰ），得xPxQ??t??若xQ?3233，xP?xQ?k. 22323，代入上式得 xP??3， 从而 k?(xP?xQ)??.
332323， 从而 k?(xP?xQ)?.
332同理，若xQ?3， 可得xP??所以，直线PQ的函数解析式为
y??33x?1，或y?x?1. ………………………………………20分 33， 2， ， 2011且a1?a2?（14）已知ai?0，i?1，（a1，a2，，a2011中一定存在两个数ai，a，使得aj?ai?ji?j）?a201，证明：
．
(1?ai)(1?aj)2010证明：令xi?2010， i?1，， 2 ， 2011， ……………………………………5分 1?ai?x1?2010. …………………………………10分
则0?x2011?x2010?故一定存在1≤k≤2010， 使得xk?xk?1?1，从而
20102010??1． …………………………………15分 1?ak1?ak?1
即 ak?1?ak?
(1?ak)(1?ak?1)． …………………………………………20分
2010
数学周报杯2011年全国初中数学竞赛（天津赛区）试题
